Question

【題目】如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)、和點(diǎn)，動點(diǎn)從原點(diǎn)開始沿方向以每秒個單位長度移動，動點(diǎn)從點(diǎn)開始沿方向以每秒個單位長度移動，動點(diǎn)、同時出發(fā)，當(dāng)動點(diǎn)到達(dá)原點(diǎn)時，點(diǎn)、停止運(yùn)動．

直接寫出拋物線的解析式：________；

求的面積與點(diǎn)運(yùn)動時間的函數(shù)解析式；當(dāng)為何值時，的面積最大？最大面積是多少？

當(dāng)的面積最大時，在拋物線上是否存在點(diǎn)（點(diǎn)除外），使的面積等于的最大面積？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）當(dāng)時，；（3）當(dāng)的面積最大時，在拋物線上存在點(diǎn)（點(diǎn)除外），使的面積等于的最大面積，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或

【解析】

（1）將點(diǎn)A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=-x2+bx+c即可求出拋物線的解析式為：y=-x2+3x+8；

（2）根據(jù)題意得：當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動t秒時，BD=t，OC=t，然后由點(diǎn)A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，從而可得OD=8-t，然后令y=0，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，0），進(jìn)而可得OE=2，DE=2+8-t=10-t，然后利用三角形的面積公式即可求△CED的面積S與D點(diǎn)運(yùn)動時間t的函數(shù)解析式為：S=-t2+5t，然后轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求出最值為：S最大=；

（3）由（2）知：當(dāng)t=5時，S最大=，進(jìn)而可知：當(dāng)t=5時，OC=5，OD=3，進(jìn)而可得CD=，從而確定C（0，5），D（3，0）然后根據(jù)待定系數(shù)法求出直線CD的解析式為：y=-x+5，然后過E點(diǎn)作EF∥CD，交拋物線與點(diǎn)P，然后求出直線EF的解析式，與拋物線聯(lián)立方程組解得即可得到其中的一個點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用面積法求出點(diǎn)E到CD的距離為，然后過點(diǎn)D作DN⊥CD，垂足為N，且使DN=，然后求出N的坐標(biāo)，然后過點(diǎn)N作NH∥CD，與拋物線交與點(diǎn)P，然后求出直線NH的解析式，與拋物線聯(lián)立方程組求解即可得到其中的另兩個點(diǎn)P的坐標(biāo)．

(1) 將點(diǎn)A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=-x2+bx+c，

得：，

解得：b=3，c=8，

∴拋物線的解析式為：y=-x2+3x+8，

故答案為：y=-x2+3x+8；

∵點(diǎn)、，

∴，，

令，得：，

解得：，，

∵點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，

∴點(diǎn)，

∴，

根據(jù)題意得：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動秒時，，，

∴，

∴，

∴，

即，

∴當(dāng)時，；

由知：當(dāng)時，，

∴當(dāng)時，，，

∴，，

由勾股定理得：，

設(shè)直線的解析式為：，

將，，代入上式得：

，，

∴直線的解析式為：，

過點(diǎn)作，交拋物線與點(diǎn)，如圖，

設(shè)直線的解析式為：，

將代入得：，

∴直線的解析式為：，

將，與聯(lián)立成方程組得：

，

解得：，，

∴；

過點(diǎn)作，垂足為，

∵當(dāng)時，，

∴，

過點(diǎn)作，垂足為，且使，過點(diǎn)作軸，垂足為，如圖，

可得，

∴，

即：，

解得：，

∴，

由勾股定理得：，

∴，

過點(diǎn)作，與拋物線交與點(diǎn)，如圖，

設(shè)直線的解析式為：，

將，代入上式得：，

∴直線的解析式為：，

將，與聯(lián)立成方程組得：

，

解得：，，

∴或，

綜上所述：當(dāng)的面積最大時，在拋物線上存在點(diǎn)（點(diǎn)除外），使的面積等于的最大面積，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．