Question

【題目】如圖，在ABC中，∠C＝90，BD平分∠ABC，交AC于D，點O、E、F分別在BD、BC、

AC上，且四邊形OECF是正方形.

（1）求證：點O在∠BAC的平分線上；

（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的長.

Answer 1

【答案】(1)見解析：（2）2.

【解析】（1）過點O作OM⊥AB，由角平分線的性質(zhì)得OE=OM，由正方形的性質(zhì)得OE=OF，易得OM=OF，由角平分線的判定定理得點O在∠BAC的平分線上；

（2）由勾股定理得AB的長，利用方程思想解得結(jié)果．

解：（1）過點O作OM⊥AB于點M

∵正方形OECF

∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F

∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E

∴OM＝OE＝OF

∵OM⊥AB于M，OE⊥BC于E

∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90°

∵

∴Rt△AMO≌Rt△AFO

∴∠MAO＝∠FAO

∴點O在∠BAC的平分線上

（2）方法一：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12

∴AB＝13

易證：BE＝BM，AM＝AF

又BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，而CE＝CF＝OE

故：BE＝12－OE，AF＝5－OE

顯然：BM＋AM＝AB

即：BE＋AF＝13

12－OE＋5－OE＝13

解得OE＝2

方法二：利用面積法：

從而解得 OE＝2