【題目】如圖所示,△ABC是直角三角形,∠A=90°,D是斜邊BC的中點,E、F分別是AB、AC邊上的動點,且DEDF.

(1)如圖1,AB=AC,BE=12,CF=5,求線段EF的長.

(2)如圖2,若ABAC,寫出線段EF與線段BE、CF之間的等量關(guān)系,并寫出證明過程.

【答案】(1)13;(2)EF2=BE2+CF2證明見解析.

【解析】

(1)首先連接AD,由△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,AD是斜邊的中線,可得:AD=DC,EAD=C=45°,ADBC即∠CDF+ADF=90°,又DEDF,可得:∠EDA+ADF=90°,故∠EDA=CDF,從而可證:△AED≌△CFD,所以可得:AE=CF,AF=BC,即可得出答案;

(2)延長EDP,使DP=DE,連接FP,CP,利用SAS得到三角形BED與三角形CPD全等,利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到BE=CP,再利用SAS得到撒尿性EDF和三角形PDF全等,利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到EF=FP,利用等角的余角相等得到∠FCP為直角,在直角三角形FCP中,利用勾股定理列出關(guān)系式,等量代換即可得證.

(1)如圖1,連接AD,

∵在RtABC中,AB=AC,ADBC邊的中線,

∴∠DAC=BAD=C=45°,ADBC,AD=DC,

又∵DEDF,ADDC,

∴∠EDA+ADF=CDF+FDA=90°,

∴∠EDA=CDF

在△AED與△CFD中,

,

∴△AED≌△CFD(ASA).

AE=CF,

同理AF=BE.

∵∠EAF=90°,

EF2=DE2+DF2,

BE2+CF2=EF2

EF==13;

(2)EF2=BE2+CF2

如圖2,延長EDP,使DP=DE,連接FP,CP,

在△BED和△CPD中, ,

∴△BED≌△CPD(SAS),

BE=CP,B=CPD,

在△EDF和△PDF中,

∴△EDF≌△PDF(SAS),

EF=FP,

∵∠B=DCP,A=90°,

∴∠B+ACB=90°,

∴∠ACB+DCP=90°,即∠FCP=90°,

RtFCP中,根據(jù)勾股定理得:CF2+CP2=PF2

BE=CP,PF=EF,

EF2=BE2+CF2

練習冊系列答案
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②DE=BD+CE

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