Question

【題目】如圖，M、N分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點，已知：∠MAN=30°，AM=AN，△AMN的面積為1．
（1）求∠BAM的度數；
（2）求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°，

∵AM=AN，

在Rt△ABM和Rt△ADN中，

，

∴△ABM≌△ADN（HL），

∴∠BAM=∠DAN，

∵∠MAN=30°，∠BAD=90°，

∴∠BAM=30°．

（2）解：作MH⊥AN于H．設BM=x，則AM=AN=2x，MH=x，

∵ ANMH=1，

∴ 2xx=1，

解得x=1或﹣1（舍棄），

∴AB= BM= ，

∴正方形ABCD的邊長為 ．

【解析】（1）只要證明△ABM≌△ADN（HL），推出∠BAM=∠DAN，由∠MAN=30°，∠BAD=90°，即可推出∠BAM=30°；（2）作MH⊥AN于H．設BM=x，則AM=AN=2x，MH=x，根據 ANMH=1，列出方程即可；
【考點精析】關于本題考查的正方形的性質，需要了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．