【題目】數(shù)學(xué)活動課上,某學(xué)習(xí)小組對有一內(nèi)角為120°的平行四邊形ABCD(∠BAD=120°)進(jìn)行探究:將一塊含60°的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),且60°角的頂點(diǎn)始終與點(diǎn)C重合,較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB,AD于點(diǎn)E,F(不包括線段的端點(diǎn)).
(1)初步嘗試
如圖1,若AD=AB,求證:①△BCE≌△ACF,②AE+AF=AC;
(2)類比發(fā)現(xiàn)
如圖2,若AD=2AB,過點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H,求證:AE=2FH;
(3)深入探究
如圖3,若AD=3AB,探究得:的值為常數(shù)t,則t=____.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3).
【解析】
(1)①先證明△ABC,△ACD都是等邊三角形,再證明∠BCE=∠ACF即可解決問題.②根據(jù)①的結(jié)論得到BE=AF,由此即可證明.(2)設(shè)DH=x,由由題意,CD=2x,CH=x,由△ACE∽△HCF,得
由此即可證明;(3)如圖3中,作CN⊥AD于N,CM⊥BA于M,CM與AD交于點(diǎn)H.先證明△CFN∽△CEM,得,由ABCM=ADCN,AD=3AB,推出CM=3CN,所以,設(shè)CN=a,FN=b,則CM=3a,EM=3b,想辦法求出AC,AE+3AF即可解決問題.
解:(1)①∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠BAD=120°,
∴∠D=∠B=60°, ∵AD=AB,
∴△ABC,△ACD都是等邊三角形,
∴∠B=∠CAD=60°,∠ACB=60°,BC=AC,
∵∠ECF=60°,
∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°, ∴∠BCE=∠ACF,
在△BCE和△ACF中,
∴△BCE≌△ACF.
②∵△BCE≌△ACF,
∴BE=AF,
∴AE+AF=AE+BE=AB=AC.
(2)設(shè)DH=x,由由題意,CD=2x,CH=x,
∴AD=2AB=4x, ∴AH=AD﹣DH=3x,
∵CH⊥AD,
∴AC==2x,
∴AC2+CD2=AD2, ∴∠ACD=90°, ∴∠BAC=∠ACD=90°, ∴∠CAD=30°,
∴∠ACH=60°,
∵∠ECF=60°,
∴∠HCF=∠ACE, ∴△ACE∽△HCF, ∴=2,
∴AE=2FH.
(3)如圖3中,作CN⊥AD于N,CM⊥BA于M,CM與AD交于點(diǎn)H.
∵∠ECF+∠EAF=180°,
∴∠AEC+∠AFC=180°,
∵∠AFC+∠CFN=180°,
∴∠CFN=∠AEC,
∵∠M=∠CNF=90°, ∴△CFN∽△CEM,
∴, ∵ABCM=ADCN,AD=3AB, ∴CM=3CN,
∴,設(shè)CN=a,FN=b,則CM=3a,EM=3b,
∵∠MAH=60°,∠M=90°, ∴∠AHM=∠CHN=30°, ∴HC=2a,HM=a,HN=a,
∴AM=a,AH=a, ∴AC=a,
AE+3AF=(EM﹣AM)+3(AH+HN﹣FN)=EM﹣AM+3AH+3HN﹣3FN=3AH+3HN﹣AM=a,
∴=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=﹣[(x﹣2)2+n]與x軸交于點(diǎn)A(m﹣2,0)和B(2m+3,0)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,連結(jié)BC.
(1)求m、n的值;
(2)如圖2,點(diǎn)N為拋物線上的一動點(diǎn),且位于直線BC上方,連接CN、BN.求△NBC面積的最大值;
(3)如圖3,點(diǎn)M、P分別為線段BC和線段OB上的動點(diǎn),連接PM、PC,是否存在這樣的點(diǎn)P,使△PCM為等腰三角形,△PMB為直角三角形同時(shí)成立?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作,書中有一個問題:“今有黃金九枚,白銀一十一枚,稱之重適等.交易其一,金輕十三兩.問金、銀一枚各重幾何?”.意思是:甲袋中裝有黃金9枚(每枚黃金重量相同),乙袋中裝有白銀11枚(每枚白銀重量相同),稱重兩袋相等.兩袋互相交換1枚后,甲袋比乙袋輕了13兩(袋子重量忽略不計(jì)).問黃金、白銀每枚各重多少兩?設(shè)每枚黃金重x兩,每枚白銀重y兩,根據(jù)題意得( 。
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩地相距300千米,一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)駛向乙地如圖,如圖,線段OA表示貨車離甲地距離y(千米)與時(shí)間x(小時(shí))之間的函數(shù)圖象;折線BCD表示轎車離甲地距離y(千米)與時(shí)間x(小時(shí))之間的函數(shù)圖象;請根據(jù)圖象解答下到問題:
(1)貨車離甲地距離y(干米)與時(shí)間x(小時(shí))之間的函數(shù)式為 ;
(2)當(dāng)轎車與貨車相遇時(shí),求此時(shí)x的值;
(3)在兩車行駛過程中,當(dāng)轎車與貨車相距20千米時(shí),求x的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將□ABCD的邊AB延長至點(diǎn)E,使AB=BE,連接BD,DE,EC,DE交BC于點(diǎn)O.
(1)求證:△ABD≌△BEC;
(2)若∠BOD=2∠A,求證:四邊形BECD是矩形.
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【題目】已知一個兩位數(shù),用表示十位上的數(shù),用表示個位上的數(shù).
(1)用含,的式子表示這個兩位數(shù);
(2)把這個兩位數(shù)個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字交換位置,得到一個新的兩位數(shù).
①若原數(shù)個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的3倍,且新數(shù)與原數(shù)的差是36,求原來的兩位數(shù)是多少?
②列式表示所得新數(shù)的平方與原數(shù)的平方的差(結(jié)果要化簡),并判斷其是11的倍數(shù)嗎?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲騎電動車、乙騎摩托車都從M地出發(fā),沿一條筆直的公路勻速前往N地,甲先出發(fā)一段時(shí)間后乙再出發(fā).甲,乙兩人到達(dá)N地后均停止騎行,已知M,N兩地相距km,設(shè)甲行駛的時(shí)間為x(h),甲、乙兩人之同的距離為y(km),表示y與x函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示.請你解決以下問題:
(1)求線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)分別求甲,乙的速度;
(3)填空:點(diǎn)A的坐標(biāo)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線經(jīng)過三點(diǎn),已知
求此拋物線的關(guān)系式;
設(shè)點(diǎn)是線段上方的拋物線上一動點(diǎn),過點(diǎn)作軸的平行線,交線段于點(diǎn)當(dāng)的面積最大時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);
點(diǎn)是拋物線上的一動點(diǎn),當(dāng)中的面積最大時(shí),請直接寫出使的點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A,B在長方形的邊上.
(1)用圓規(guī)和無刻度的直尺在長方形的內(nèi)部作∠ABC=∠ABO;(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)在(1)的條件下,若BE是∠CBD的角平分線,探索AB與BE的位置關(guān)系,并說明理由.
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