Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y＝﹣x+6分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B．當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB（點(diǎn)P不與A，B重合）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)系內(nèi)存在一點(diǎn)N，使得以O，B，P，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．請(qǐng)直接寫(xiě)出N點(diǎn)坐標(biāo)_____．

Answer 1

【答案】（﹣4，3），（，），（，﹣）．

【解析】

直接考慮以O，B，P，N為頂點(diǎn)的菱形中的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜,不妨根據(jù)菱形的性質(zhì),它的一半為等腰三角形,則討論三邊有任意兩邊相等,分三種情況: BP＝OP, OP＝OB, BP＝OB,再根據(jù)坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)間的距離公式列出等式解答即可.

解：∵直線(xiàn)y＝﹣ x+6分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，

∴A（8，0），B（0，6）．

分三種情況：

①如圖所示，以OB為菱形OPBN的對(duì)角線(xiàn)，點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于OB對(duì)稱(chēng)，

由BP＝OP可得，∠PBO＝∠POB，

根據(jù)∠PBO+∠PAO＝∠POB+∠POA＝90°，可得∠POA＝∠PAO，

∴PO＝PA，

∴P是AB的中點(diǎn)，即P（4，3），

∴N（﹣4，3）；

②如圖所示，以PB為菱形OPBN的對(duì)角線(xiàn)，設(shè)P（n，﹣ n+6），

∵四邊形OPNB為菱形，B（0，6），

∴OP＝OB＝6＝，

解得：n＝或n＝0（舍去），

∴點(diǎn)P（，），

∴點(diǎn)N（，），即N（，）；

③如圖所示，以OP為菱形BPNO的對(duì)角線(xiàn)，設(shè)P（m，﹣m+6）

∵四邊形ONPB為菱形, B（0，6），

∴BP＝OB＝6＝，

解得m＝，

∴P（，），

∴N（，），即N（，﹣），

綜上所述，N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，3），（，），（，﹣）．

故答案為：（﹣4，3），（，），（，﹣）．