【題目】如圖,以點(diǎn)為圓心的圓,交軸于,兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),交軸于,兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的下方),,將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180,得到 .

(1),兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)請?jiān)趫D中畫出線段,,并判斷四邊形的形狀(不必證明),求出點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)動直線從與重合的位置開始繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn),到與重合時停止,設(shè)直線 的交點(diǎn)為,點(diǎn)的中點(diǎn),過點(diǎn)于點(diǎn),連接, .:在旋轉(zhuǎn)過程中,的大小是否變化?若不變,求出的度數(shù);若變化,請說明理由.

【答案】(1)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-3,0)(1,0);(2) 是平行四邊形,點(diǎn)的坐標(biāo)為;(3)在旋轉(zhuǎn)過程中, 的大小不變,始終等于120°.

【解析】

(1)連接PA,運(yùn)用垂徑定理及勾股定理即可求出圓的半徑,從而可以求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);(2)由于⊙P是中心對稱圖形,顯然射線AP與⊙P的交點(diǎn)就是所需畫的點(diǎn)M,連接MB、MC即可;易證四邊形ACMB是矩形;過點(diǎn)MMH⊥BC,垂足為H,易證△MHP≌△AOP,從而求出MH、OH的長,進(jìn)而得到點(diǎn)M的坐標(biāo);(3)易證點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心,QB為半徑的圓上,從而得到∠MQG=2∠MBG.易得∠OCA=60°,從而得到∠MBG=60°,進(jìn)而得到∠MQG=120°,所以∠MQG是定值.

(1)連接PA,如圖1所示.

∵PO⊥AD,

∴AO=DO.

∵AD=2 ,

∴OA=

∵點(diǎn)P坐標(biāo)為(-1,0),

∴OP=1.

∴PA==2.

∴BP=CP=2.

∴B(-3,0),C(1,0).

(2)連接AP,延長AP交⊙P于點(diǎn)M,連接MB、MC.

如圖2所示,線段MB、MC即為所求作.

四邊形ACMB是矩形.

理由如下:

∵△MCB由△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°所得,

∴四邊形ACMB是平行四邊形.

∵BC是⊙P的直徑,

∴∠CAB=90°.

∴平行四邊形ACMB是矩形.

過點(diǎn)MMH⊥BC,垂足為H,如圖2所示.

在△MHP和△AOP中,

∵∠MHP=∠AOP,∠HPM=∠OPA,MP=AP,

∴△MHP≌△AOP.

∴MH=OA=,PH=PO=1.

∴OH=2.

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,).

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小不變.

∵四邊形ACMB是矩形,

∴∠BMC=90°.

∵EG⊥BO,

∴∠BGE=90°.

∴∠BMC=∠BGE=90°.

∵點(diǎn)QBE的中點(diǎn),

∴QM=QE=QB=QG.

∴點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心,QB為半徑的圓上,如圖3所示.

∴∠MQG=2∠MBG.

∵∠COA=90°,OC=1,OA=,

∴tan∠OCA=

∴∠OCA=60°.

∴∠MBC=∠BCA=60°.

∴∠MQG=120°.

∴在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小不變,始終等于120°.

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②在(1)的條件下,分別以為邊作等邊和等邊,連結(jié),求的度數(shù).

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1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);

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請結(jié)合統(tǒng)計圖表,回答下列問題:

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2)若該校學(xué)生有1500人,請你估計該校喜歡集會演講這項(xiàng)宣傳方式的學(xué)生約有多少人?

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