Question

【題目】拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，且A(﹣1，0)，B(4，0)，與y軸交于點(diǎn)C，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，﹣2)，連接BC，以BC為邊，點(diǎn)O為對(duì)稱中心作菱形BDEC.點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，0)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q，交BD于點(diǎn)M.

(1)求拋物線的解析式.

(2)x軸上是否存在一點(diǎn)P，使三角形PBC為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形？請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2；(2)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(，0)或(4+2，0)或(4﹣2，0)或(﹣4，0)；(3)m＝1.理由見解析

【解析】

(1)拋物線與x軸交于A(﹣1，0)，B(4，0)兩點(diǎn)，故拋物線的表達(dá)式為：y＝a(x+1)(x﹣4)＝a(x2﹣3x﹣4)，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可得：﹣4a＝﹣2，解得：a＝，即可求解；

(2) 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，0)，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)之間的距離公式分別求出PC2、PB2和BC2，然后分PB＝PC、PB＝BC、PC＝BC三種情況，分別求解即可；

(3)直線BD的解析式為y＝﹣x+2；如圖，當(dāng)MQ＝DC時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，則(﹣m+2)﹣(m2﹣m﹣2)＝2﹣(﹣2)，即可求解.

解：(1)由題意可設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2+bx﹣2，

∵拋物線與x軸交于A(﹣1，0)，B(4，0)兩點(diǎn)，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝a(x+1)(x﹣4)＝a(x2﹣3x﹣4)，

即﹣4a＝﹣2，解得：a＝，

∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣2；

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，0)，

則PB2＝(m﹣4)2，PC2＝m2+4，BC2＝20，

①當(dāng)PB＝PC時(shí)，(m﹣4)2＝m2+4，解得：m＝；

②當(dāng)PB＝BC時(shí)，(m﹣4)2＝20：m＝4±2；

③當(dāng)PC＝BC時(shí)，m2+4＝20：m＝±4(當(dāng)m=4時(shí)，P、B重合，故舍去4)，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(，0)或(4+2，0)或(4﹣2，0)或(﹣4，0)；

(3)∵C(0，﹣2)

∴由菱形的對(duì)稱性可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，2)，

設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+2，又B(4，0)

解得k＝﹣1，

∴直線BD的解析式為y＝﹣x+2；

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m，﹣m+2)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m，m2﹣m﹣2)，

如圖，當(dāng)MQ＝DC時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形

∴(﹣m+2)﹣(m2﹣m﹣2)＝2﹣(﹣2)，

解得m1＝0(不合題意舍去)，m2＝1，

∴當(dāng)m＝1時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形.