【題目】在平面直角坐標系中,邊長為 的正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點E,頂點B,A在x,y軸正半軸上運動(x軸的正半軸,y軸的正半軸都不包含原點O)頂點C、D都在第一象限.

(1)如圖1,當(dāng)∠ABO=45°時,求直線OE的解析式,并說明OE平分∠AOB;
(2)當(dāng)∠ABO≠45°時(如圖2所示):OE是否還平分∠AOB仍然成立?若是,請證明;若不是,請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵邊長為 的正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點E,

∴AE⊥BE,AE=BE,AB= ,∠ABE=45°,

∴由勾股定理得:AE2+BE2=AB2,即2AE2=

∴AE=BE=1.

∵∠ABO=45°,

∴∠OBE=∠AEB=∠AOB=90°,

∴四邊形AOBE是正方形,

∴OE平分∠AOB,點E的坐標是(1,1).

設(shè)直線OE的解析式為:y=kx(k≠0),

則有1=k×1,即k=1,

∴直線OE的解析式為y=x


(2)

解:OE平分∠AOB仍然成立.

證明:過點E做EF、EG分別垂直于y軸和x軸,垂足分別是點F和點G,則四邊形EFOG是矩形,如圖所示.

∴∠FEG=90°,

∴∠FEA+∠AEG=90°.

又∵∠AEG+∠GEB=90°,

∴∠FEA=∠GEB.

在△FEA和△GEB中,

∴△FEA≌△GEB(AAS),

∴FE=GE,

∴矩形EFOG是正方形,

∴OE平分∠AOB.


【解析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合AB= ,∠ABO=45°,可得出點E的坐標以及四邊形AOBE是正方形,從而可得出OE平分∠AOB,再由點E的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線OE的解析式;(2)過點E做EF、EG分別垂直于y軸和x軸,垂足分別是點F和點G,則四邊形EFOG是矩形,根據(jù)邊角關(guān)系可證出△FEA≌△GEB,進而得出FE=GE,由此即可得出矩形EFOG是正方形,再根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得出OE平分∠AOB.

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