Question

11．拋物線C：y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c的頂點(diǎn)（1，-2）
（1）求拋物線C的解析式；
（2）直線l：y=kx+b與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)
①當(dāng)b=-4時(shí)，若線段AB被x軸平分，求k的值；
②當(dāng)k=1時(shí)，若線段AB=4$\sqrt{10}$，求b的值；
（3）拋物線C的頂點(diǎn)平移到原點(diǎn)，得新拋物線C₁，拋物線C₁上一點(diǎn)M（-4，t），過(guò)點(diǎn)M作拋物線的兩條弦MD和MC，且MD⊥MC，判斷直線DC是否過(guò)定點(diǎn)？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，可直接得出拋物線的解析式；
（2）①聯(lián)立直線和拋物線解析式，可整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關(guān)系可求得x₁+x₂=4k+2，x₁x₂=9，再根據(jù)條件可得到關(guān)于k的方程，可求得k的值；②同理，當(dāng)k=1時(shí)，可得到關(guān)于b的方程，可求得b的值；
（3）由平移可求得拋物線C₁的解析式，則可求出M點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），過(guò)點(diǎn)M作l∥y軸，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥l于E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥l于F，可證明Rt△DFM∽R(shí)t△MEC，由相似三角形的性質(zhì)，整理可得4（x₁+x₂）-x₁x₂=32，設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，聯(lián)立直線CD與拋物線C₁的解析式，可整理成關(guān)于x的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得到b與k的關(guān)系，則可求得答案．

解答 解：（1）∵拋物線C：y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c的頂點(diǎn)（1，-2），
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²-2；
（2）①當(dāng)b=-4時(shí)，直線l解析式為y=kx-4，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}（x-1）^{2}-2}\\{y=kx-4}\end{array}\right.$，整理得x²-（4k+2）x+9=0，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵AB被x軸平分，
∴y₁+y₂=0，
∵x₁+x₂=4k+2，x₁x₂=9，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-8=k（4k+2）-8=0，解得k=$\frac{-1±\sqrt{33}}{4}$；
②當(dāng)k=1時(shí)，直線l解析式為y=x+b，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}（x-1）^{2}-2}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，整理得x²-6x-7-4b=0，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=-7-4b，
當(dāng)k=1時(shí)，AB=$\sqrt{2}$（x₂-x₁）=$\sqrt{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{64+16b}$，
∵AB=4$\sqrt{10}$，
∴$\sqrt{2}$$\sqrt{64+16b}$=4$\sqrt{10}$，解得b=1；
（3）由題意可知拋物線C₁的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²，
∴M（-4，4），
設(shè)C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
過(guò)點(diǎn)M作l∥y軸，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥l于E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥l于F，如圖，

∵M(jìn)D⊥MC，
∴∠MDC=90°，
∴∠FDM+∠DMF=∠DMF+∠CME，
∴∠FDM=∠CME，且∠DFM=∠CEM=90°，
∴Rt△DFM∽R(shí)t△MEC，
∴$\frac{DF}{ME}$=$\frac{FM}{EC}$，即$\frac{{x}_{2}+4}{4-{y}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}-4}{{x}_{1}+4}$，
∵點(diǎn)C、D在拋物線C₁上，
∴$\frac{{x}_{2}+4}{4-\frac{1}{4}{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}-4}{{x}_{1}+4}$，整理得4（x₁+x₂）-x₁x₂=32，
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，整理得x²-4kx-4b=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
∴4×4k-（-4b）=32，整理可得b=8-4k
∴直線CD解析式為y=kx+b=kx-4k+8=k（x-4）+8，
∴直線CD過(guò)定點(diǎn)（4，8）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、根與系數(shù)的關(guān)系、相似三角形的判定和性質(zhì)及方程思想等知識(shí)．在（1）中注意拋物線頂點(diǎn)式的應(yīng)用，在（2）中由平分或線段的長(zhǎng)度得到關(guān)于k或b的方程是解題的關(guān)鍵，注意根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，在（3）中構(gòu)造三角形相似，由相似三角形的性質(zhì)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到b與k的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．