Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與⊙M相交于A、B、C、D四點(diǎn)。其中AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1，0)，(0，-2)，點(diǎn)D在軸上且AD為⊙M的直徑。點(diǎn)E是⊙M與軸的另一個(gè)交點(diǎn)，過(guò)劣弧上的點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，且FH=1.5。

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)P是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求出⊿PEF的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使⊿QCM是等腰三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

第(1)問(wèn)求拋物線的解析式，我們知道的條件就是AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)，要想求得拋物線的解析式，必須再有一個(gè)點(diǎn)才行。根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，0)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式(半徑相等)可以求得，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，0)，這樣就可以根據(jù)交點(diǎn)式來(lái)求解拋物線的解析式：

第(2)問(wèn)其實(shí)是我們初中階段經(jīng)常練習(xí)的一個(gè)軸對(duì)稱問(wèn)題。要在軸上的找到一點(diǎn)P，使得⊿PEF的周長(zhǎng)最小，我們先來(lái)看E，F(xiàn)兩點(diǎn)，這是兩個(gè)定點(diǎn)，也就是說(shuō)EF的長(zhǎng)度是不變的，那實(shí)際上這個(gè)題目就是求PE+PF的最小值，這就變成了軸對(duì)稱問(wèn)題中最為經(jīng)典的“放羊問(wèn)題”，要解決這一問(wèn)題首先我們看圖中有沒有E或F的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)題意，顯然是有E點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)B的，那么連接BF與軸的交點(diǎn)就是我們要求的點(diǎn)P(2，0)。

第(3)問(wèn)要在拋物線的對(duì)稱軸上找點(diǎn)Q，使得⊿QCM是等腰三角形，首先點(diǎn)M本身就在拋物線對(duì)稱軸上，其坐標(biāo)為；點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，-2)；求Q點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意可設(shè)Q點(diǎn)為()。⊿QCM是等腰三角形，則可能有三種情況，分別是QC=MC；QM=MC；QC=QM。根據(jù)這三種情況就能求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)可能是或或