Question

18．如圖，已知直線y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C的直線y=-x+b與x軸交于點(diǎn)B．
（1）b的值為3；
（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-1），將△BCD沿直線BC對(duì)折后，點(diǎn)D落到第一象限的點(diǎn)E處，求證：四邊形ABEC是平行四邊形；
（3）在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、D、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先由點(diǎn)C在直線y=3x+3上，求出點(diǎn)C坐標(biāo)，代入直線y=-x+b中即可．
（2）先求出∠OBC=∠OCB=45°，進(jìn)而判斷出CE∥AB，最后判斷出CE=AB 即可；
（3）方法①先確定出直線AD，BC解析式，進(jìn)而判斷出AD∥BC，使得以P、A、D、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，只要AD=PB即可．
方法②，分兩種情況，先用平移的性質(zhì)得出得出直線的解析式，求出滿足平行四邊形的交點(diǎn)坐標(biāo)，最后判斷此點(diǎn)在直線BC上，即可得出點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答 （1）∵直線y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，
∴C（0，3），
∵過點(diǎn)C的直線y=-x+b與x軸交于點(diǎn)B，
∴b=3，
故答案為3，
（2）證明：當(dāng)b=3時(shí)，直線BC為y=-x+3
由x=0得，y=3，
∴C（0，3），OC=3
由y=0得，x=3，
∴B（3，0），OB=3
∴OB=OC=3
∴∠OBC=∠OCB=45° 
由折疊得：∠BCE=∠OCB=45°
CE=CD=OC+OD=4
∴∠OBC=∠BCE
∴CE∥AB 
由y=3x+3，令y=0得，x=-1，
∴A（-1，0）
∴AB=OA+OB=3+1=4
∴AB=CE
∴四邊形ABEC為平行四邊形．
（3）解：存在點(diǎn)P，使以P、A、D、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
方法①如圖，

∵A（-1，0）、D（0，-1），
∴直線AD解析式為y=-x-1，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直線BC解析式為y=-x+3．
∴AD∥BC，
∵點(diǎn)P在直線BC上，
∴設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，-m+3），
∴PB²=（m-3）²+（-m+3）²，
∵使得以P、A、D、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴PB=AD，
∴PB²=AD²，
∵AD²=2，
∴（m-3）²+（-m+3）²=2．
∴m₁=2，m₂=4，
∴P（2，1）或P（4，-1），
綜上所述，存在點(diǎn)P，使以P、A、D、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（2，1）或P₂（4，-1）．
方法②∵A（-1，0）、D（0，-1），
∴直線AD解析式為y=-x-1，
∵B（3，0），
∴過點(diǎn)B的直線l∥AD，直線l解析式為y=-x+3，
∴D（0，-1），
∴過點(diǎn)D的直線l'∥AB，直線l'的解析式為y=-1，
∴直線l和l'的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（4，-1），
∵直線BC解析式為y=-x+3．
∴點(diǎn)M在直線BC上，即點(diǎn)M就是所找的點(diǎn)P，
∴P（4，-1），
∵D（0，-1），B（3，0），
∴直線BD的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-1，
∴過點(diǎn)A的直線a∥BD，直線a的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$，
∵直線l解析式為y=-x+3，
∴直線l和直線a的交點(diǎn)坐標(biāo)為N（2，1），
∵直線BC解析式為y=-x+3．
∴點(diǎn)N在直線BC上，即點(diǎn)N就是所找的點(diǎn)P，
∴P（2，1），
綜上所述，存在點(diǎn)P，使以P、A、D、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（2，1）或P₂（4，-1）．

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是四邊形ABEC為平行四邊形，判斷出AD∥BC是解本題的難點(diǎn)．