Question

3．【閱讀】在平面直角坐標(biāo)系中，若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）．（不必說(shuō)理，可直接運(yùn)用）．
【理解】若點(diǎn)P（3，4），Q（-3，-6），則線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-1）．
【運(yùn)用】如圖，已知△A′B′C′是由△ABC繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后，再向右平移3個(gè)單位而得到的，其中A（-2，-5），B（-1，-2），C（-3，-1）．
（1）說(shuō)明△ABC與△A′B′C′稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)，并求出對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)．
（2）探究該平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 【理解】線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式直接計(jì)算即可；
【運(yùn)用】（1）由△ABC與△A′B′C′稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線(xiàn)被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分，用線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式直接計(jì)算即可；
（2）由平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)已知，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分，借助線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式直接計(jì)算即可；

解答 【理解】解：∵點(diǎn)P（3，4），Q（-3，-6），
∴線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{3+（-3）}{2}$，$\frac{4+（-6）}{2}$）．
∴線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-1），
故答案為（0，-1）；
【運(yùn)用】（1）設(shè)AA'，BB'，CC'的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G．
∵A（-2，-5），B（-1，-2），C（-3，-1）
∴A'（5，5），B'（4，2），C'（6，1），
∴E（1.5，0），F(xiàn)（1.5，0），G（1.5，0），
∴E、F、G重合，即△ABC與AA'B'C'成中心對(duì)稱(chēng)，
對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為（1.5，0），
（2）設(shè)存在點(diǎn)D（x，y），使得以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
①當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，設(shè)AB的中點(diǎn)為O₁，
∴O₁（-1.5，-3.5）
∵O₁也是CD的中點(diǎn)
∴$\frac{x+（-3）}{2}$=-$\frac{3}{2}$.$\frac{y+（-1）}{2}$=-$\frac{7}{2}$
解得x=0，y=-6
∴D₁（0，-6），
②當(dāng)BC為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，
同①的解法，可得D₂（-2，2），
③當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，
同①的解法，可得D₃（-4，-4）
綜上所述：存在點(diǎn)D，坐標(biāo)分別為（0，-6），（-2，2），（-4，-4）．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)的確定，根據(jù)是閱讀材料，理解線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式是解本題的關(guān)鍵．