Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），B（﹣4，﹣4），且與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）證明：AO平分∠BAC；

（3）在二次函數(shù)對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P使得AP＝BP？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）見(jiàn)解析；（3）存在．點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣4）；

【解析】

（1）將點(diǎn)A（4，0）與點(diǎn)B（4，4）代入函數(shù)解析式即可；

（2）求出直線AB的解析式，求出AB與y軸交點(diǎn)D（0，2），可得OC＝OD，再由AO⊥CD，可證AO平分∠BAC；

（3）二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝1，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，m），AP2＝（41）2＋m2，BP2＝（1＋4）2＋（m4）2，當(dāng)AP＝BP時(shí)，求出m＝4即可；

（1）∵點(diǎn)A（4，0）與點(diǎn)B（﹣4，4）在二次函數(shù)的圖象上，

∴，

解得，

∴二次函數(shù)的解析式為y＝；

（2）設(shè)直線AB的解析式為y＝ax+n

則有，

解得，

故直線AB的解析式為y＝x﹣2，

設(shè)直線AB與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，

x＝0，

則y＝﹣2，

故點(diǎn)D為（0，﹣2），

由（1）可知點(diǎn)C為（0，2），

∴OC＝OD

又∵AO⊥CD，

∴AO平分∠BAC；

（3）存在．

∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣1）2++2，

∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝1，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，m），

AP2＝（4﹣1）2+m2，BP2＝（1+4）2+（m4）2，

當(dāng)AP＝BP時(shí)，AP2＝BP2，

則有9+m2＝25+m2+16+8m，

解得m＝﹣4，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣4）；