Question

【題目】如圖，在平行四邊形 ABCD中，AB 6cm ，BC 12cm ，B 30，點(diǎn)P 在 BC 上由點(diǎn)B向點(diǎn)C 出發(fā)，速度為每秒2cm；點(diǎn)Q 在邊AD上，同時(shí)由點(diǎn) D 向點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1cm ，當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，P 、Q 同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接 PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)四邊形 ABPQ 為平行四邊形？

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形 ABPQ 的面積是四邊形 ABCD 的面積的四分之三？

（3）連接 AP ，是否存在某一時(shí)刻t，使ABP 為等腰三角形？并求出此刻t的值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)時(shí)，四邊形的面積是四邊形的面積的四分之三；（3）存在，當(dāng)或或時(shí)，為等腰三角形

【解析】

（1）利用平行四邊形的對(duì)邊相等得，建立方程求解即可；

（2）分別表示出四邊形ABPQ和四邊形ABCD的面積，利用面積關(guān)系即可求出；

（3）分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)，兩腰相等建立方程求解即可得出結(jié)論．

解：（1）由P、Q的運(yùn)動(dòng)方式得：cm，cm，

∵當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，

∴，

在平行四邊形 ABCD中，BC 12cm，

∴cm，則cm，

若四邊形 ABPQ 為平行四邊形，

則，

即，解得：，

∴當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形；

（2）如圖 1，過(guò)點(diǎn)作于，

在中，，cm，

cm，

四邊形是平行四邊形，BC 12cm，

∴cm2，

由（1）得：cm，cm，

∴S四邊形ABPQ=cm2，

若四邊形的面積是四邊形的面積的四分之三，

即，解得：，

∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積是四邊形的面積的四分之三；

（3）存在某一時(shí)刻t，使為等腰三角形,

若為等腰三角形，則或或，

①當(dāng)時(shí)，則cm，

即，解得：；

②當(dāng)時(shí)， 如圖 2 ，過(guò)作垂直于，垂足為點(diǎn)，

∵，⊥，

∴cm，

，

∴cm，

則，解得：，

③當(dāng)時(shí)，如圖3，

∵，，

∴E為BP中點(diǎn)，則BP=2BE，

在中，，cm，AE=3cm，

∴cm，cm，

則，解得：，

所以，當(dāng)或或時(shí)，為等腰三角形．