Question

【題目】如圖1，拋物線與x軸交于點A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，連結(jié)BC．

（1）求m、n的值；

（2）如圖2，點N為拋物線上的一動點，且位于直線BC上方，連接CN、BN．求△NBC面積的最大值；

（3）如圖3，點M、P分別為線段BC和線段OB上的動點，連接PM、PC，是否存在這樣的點P，使△PCM為等腰三角形，△PMB為直角三角形同時成立？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=1，n=﹣9；（2）；（3）P（，0）或（，0）．

【解析】

試題分析：（1）利用拋物線的解析式確定對稱軸為直線x=2，再利用對稱性得到2﹣（m﹣2）=2m+3﹣2，解方程可得m的值，從而得到A（﹣1，0），B（5，0），然后把A點坐標代入可求出n的值；

（2）作ND∥y軸交BC于D，如圖2，利用拋物線解析式確定C（0，3），再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=﹣x+3，設(shè)N（x，﹣x2+x+3），則D（x，﹣x+3），根據(jù)三角形面積公式，利用S△NBC=S△NDC+S△NDB可得S△BCN=﹣x2+x，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；

（3）先利用勾股定理計算出BC=，再分類討論：當∠PMB=90°，則∠PMC=90°，△PMC為等腰直角三角形，MP=MC，設(shè)PM=t，則CM=t，MB=﹣t，證明△BMP∽△BOC，利用相似比可求出BP的長，再計算OP后可得到P點坐標；當∠MPB=90°，則MP=MC，設(shè)PM=t，則CM=t，MB=﹣t，證明△BMP∽△BCO，利用相似比可求出BP的長，再計算OP后可得到P點坐標．

試題解析：（1）∵拋物線的解析式為=，∴拋物線的對稱軸為直線x=2，∵點A和點B為對稱點，∴2﹣（m﹣2）=2m+3﹣2，解得m=1，∴A（﹣1，0），B（5，0），把A（﹣1，0）代入得9+n=0，解得n=﹣9；

（2）作ND∥y軸交BC于D，如圖2，拋物線解析式為 =，當x=0時，y=3，則C（0，3），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把B（5，0），C（0，3）代入得，解得：，∴直線BC的解析式為，設(shè)N（x，），則D（x，），∴ND==，∴S△NBC=S△NDC+S△NDB=5ND==，當x=時，△NBC面積最大，最大值為；

（3）存在．

∵B（5，0），C（0，3），∴BC==；分兩種情況討論：

①當∠PMB=90°，則∠PMC=90°，△PMC為等腰直角三角形，MP=MC，設(shè)PM=t，則CM=t，MB=﹣t，∵∠MBP=∠OBC，∴△BMP∽△BOC，∴，即，解得t=，BP=，∴OP=OB﹣BP=5﹣=，此時P點坐標為（，0）；

②當∠MPB=90°，則MP=MC，設(shè)PM=t，則CM=t，MB=﹣t，∵∠MBP=∠CBO，∴△BMP∽△BCO，∴，即，解得t=，BP=，∴OP=OB﹣BP=5﹣=，此時P點坐標為（，0）；

綜上所述，P點坐標為（，0）或（，0）．