【題目】如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),且B(1,0)

(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo);

(2)如圖1,點(diǎn)P是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線y=x平分∠APB時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)如圖2,已知直線分別與x軸、y軸交于C、F兩點(diǎn),點(diǎn)Q是直線CF下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)Q作y軸的平行線,交直線CF于點(diǎn)D,點(diǎn)E在線段CD的延長(zhǎng)線上,連接QE.問:以QD為腰的等腰△QDE的面積是否存在最大值?若存在,請(qǐng)求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1),A(﹣3,0);(2)P;(3)QD為腰的等腰三角形的面積最大值為

【解析】

試題分析:(1)把B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得a的值,可求得拋物線解析式,再令y=0,可解得相應(yīng)方程的根,可求得A點(diǎn)坐標(biāo);

(2)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí),連接AP交y軸于點(diǎn)B′,可證△OBP≌△OB′P,可求得B′坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得直線AP的解析式,聯(lián)立直線y=x,可求得P點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí),同理可求得∠BPO=∠B′PO,又∠B′PO在∠APO的內(nèi)部,可知此時(shí)沒有滿足條件的點(diǎn)P;

(3)過Q作QH⊥DE于點(diǎn)H,由直線CF的解析式可求得點(diǎn)C、F的坐標(biāo),結(jié)合條件可求得tan∠QDH,可分別用DQ表示出QH和DH的長(zhǎng),分DQ=DE和DQ=QE兩種情況,分別用DQ的長(zhǎng)表示出△QDE的面積,再設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo),利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得△QDE的面積的最大值.

試題解析:(1)把B(1,0)代入,可得a+2﹣3=0,解得a=1,∴拋物線解析式為,令y=0,可得,解得x=1或x=﹣3,∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣3,0);

(2)若y=x平分∠APB,則∠APO=∠BPO,如圖1,若P點(diǎn)在x軸上方,PA與y軸交于點(diǎn)B′,

由于點(diǎn)P在直線y=x上,可知∠POB=∠POB′=45°,在△BPO和△B′PO中,∠POB=∠POB′,OP=OP,BOP=BOP,∴△BPO≌△B′PO(ASA),∴BO=B′O=1,設(shè)直線AP解析式為y=kx+b,把A、B′兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得,解得,∴直線AP解析式為,聯(lián)立,解得,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(,);

若P點(diǎn)在x軸下方時(shí),同理可得△BOP≌△B′OP,∴∠BPO=∠B′PO,又∠B′PO在∠APO的內(nèi)部,∴∠APO≠∠BPO,即此時(shí)沒有滿足條件的P點(diǎn),綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為();

(3)如圖2,作QH⊥CF,交CF于點(diǎn)H,∵CF為,∴可求得C(,0),F(xiàn)(0,),∴tan∠OFC==,∵DQ∥y軸,∴∠QDH=∠MFD=∠OFC,∴tan∠HDQ=,不妨設(shè)DQ=t,DH=t,HQ=t,∵△QDE是以DQ為腰的等腰三角形,∴若DQ=DE,則S△DEQ=DEHQ=×t×t=,若DQ=QE,則S△DEQ=DEHQ=×2DHHQ=×t=,∵,∴當(dāng)DQ=QE時(shí)△DEQ的面積比DQ=DE時(shí)大.

設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,),則D(x,),∵Q點(diǎn)在直線CF的下方,∴DQ=t==,當(dāng)x=時(shí),tmax=3,∴(S△DEQmax==,即以QD為腰的等腰三角形的面積最大值為

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(1)求m、n的值;

(2)如圖2,點(diǎn)N為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),且位于直線BC上方,連接CN、BN.求NBC面積的最大值;

(3)如圖3,點(diǎn)M、P分別為線段BC和線段OB上的動(dòng)點(diǎn),連接PM、PC,是否存在這樣的點(diǎn)P,使PCM為等腰三角形,PMB為直角三角形同時(shí)成立?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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