Question

圖1和圖2中，優(yōu)弧所在⊙O的半徑為2，AB=2．點P為優(yōu)弧上一點（點P不與A，B重合），將圖形沿BP折疊，得到點A的對稱點A′．

（1）點O到弦AB的距離是 ，當BP經(jīng)過點O時，∠ABA′= °；

（2）當BA′與⊙O相切時，如圖2，求折痕的長：

（3）若線段BA′與優(yōu)弧只有一個公共點B，設∠ABP=α．確定α的取值范圍．

Answer 1

（1）1、60．（2）2；（3）α的取值范圍是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．

【解析】

試題分析：（1）利用垂徑定理和勾股定理即可求出點O到AB的距離；利用銳角三角函數(shù)的定義及軸對稱性就可求出∠ABA′．

（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBA′=90°，從而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，進而求出∠OBP=30°．過點O作OG⊥BP，垂足為G，容易求出OG、BG的長，根據(jù)垂徑定理就可求出折痕的長．

（3）根據(jù)點A′的位置不同，分點A′在⊙O內(nèi)和⊙O外兩種情況進行討論．點A′在⊙O內(nèi)時，線段BA′與優(yōu)弧都只有一個公共點B，α的范圍是0°＜α＜30°；當點A′在⊙O的外部時，從BA′與⊙O相切開始，以后線段BA′與優(yōu)弧都只有一個公共點B，α的范圍是60°≤α＜120°．從而得到：線段BA′與優(yōu)弧只有一個公共點B時，α的取值范圍是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．

試題解析：（1）①過點O作OH⊥AB，垂足為H，連接OB，如圖1①所示．

∵OH⊥AB，AB=2，

∴AH=BH=．

∵OB=2，

∴OH=1．

∴點O到AB的距離為1．

②當BP經(jīng)過點O時，如圖1②所示．

∵OH=1，OB=2，OH⊥AB，

∴sin∠OBH=．

∴∠OBH=30°．

由折疊可得：∠A′BP=∠ABP=30°．

∴∠ABA′=60°．

（2）過點O作OG⊥BP，垂足為G，如圖2所示．

∵BA′與⊙O相切，

∴OB⊥A′B．

∴∠OBA′=90°．

∵∠OBH=30°，

∴∠ABA′=120°．

∴∠A′BP=∠ABP=60°．

∴∠OBP=30°．

∴OG=OB=1．

∴BG=．

∵OG⊥BP，

∴BG=PG=．

∴BP=2．

∴折痕的長為2．

（3）若線段BA′與優(yōu)弧只有一個公共點B，

Ⅰ．當點A′在⊙O的內(nèi)部時，此時α的范圍是0°＜α＜30°．

Ⅱ．當點A′在⊙O的外部時，此時α的范圍是60°≤α＜120°．

綜上所述：線段BA′與優(yōu)弧只有一個公共點B時，α的取值范圍是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．

考點：圓的綜合題．