【題目】如圖:等腰△ABC中,AB=AC,點D在AC右側,∠BAC=∠BDC=120°
(1)猜想DA,DC,DB的數(shù)量關系并證明
(2)點D 在AB邊左側時三條線段關系是否發(fā)生變化?請畫出圖形。若變化,直接寫出結論.
【答案】(1)DB=DC+AD,理由見解析;
(2)CD=BD +AD,理由見解析.
【解析】
(1)在BD上取點E使AE=AD,作AF⊥ED,根據(jù)等腰三角形的性質得到EF=FD,根據(jù)三角形內角和定理得到∠ABC=∠ACB=30°,根據(jù)圓周角定理得到∠ADE=∠ACB=30°,根據(jù)勾股定理得到DF=AD,證明△BAE≌△CAD,根據(jù)全等三角形的性質得到BE=CD,結合圖形證明即可;
(2)結論:CD=AD+BD.在CD上取點M使AM=AD,作AN⊥DM,根據(jù)等腰三角形的性質得到DN=MN,根據(jù)三角形內角和定理得到∠ABC=∠ACB=30°,根據(jù)圓周角定理得到∠ADC=∠ABC=30°,根據(jù)勾股定理得到DN=AD,證明△DAB≌△MAC,根據(jù)全等三角形的性質得到BD=CM,結合圖形證明即可.
(1)DB=DC+AD,
理由如下:在BD上取點E使AE=AD,作AF⊥ED,則EF=FD,
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠ABC=∠ACB=30°,
∵∠BAC=∠BDC=120°,
∴A,B,C,D四點共圓,
∴∠ADB=∠ACB=30°,
∴AF=AD,
∴DF=AD,
∴DE=AD,
∵∠BAC=120°,∠EAD=120°,
∴∠BAE=∠CAD,
在△BAE和△CAD中,,
∴△BAE≌△CAD(SAS)
∴BE=CD,
∴DB=BE+DE=DC+AD;
(2)如圖:
CD=BD +AD,
理由:在CD上取點M使AM=AD,作AN⊥DM,則DN=MN,
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠ABC=∠ACB=30°,
∵∠BAC=∠BDC=120°,
∴A,B,C,D四點共圓,
∴∠ADC=∠ABC=30°,
∴AN=AD,
∴DN=AD,
∴DM=AD,
∵∠DAM=120°,∠BAC=120°,
∴∠DAB=∠MAC,
在△DAB和△MAC中,,
∴△DAB≌△MAC(SAS)
∴BD=CM,
∴DC=CM+DM=BD+AD.
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【題目】下列說法:①若直線PE是線段AB的垂直平分線,則,;②若,,則直線PE是線段AB的垂直平分線;③若,,則AB垂直平分PE;④若,則點P必是線段AB的垂直平分線上的點;⑤若,則過點E的直線垂直平分線段AB.其中正確的個數(shù)有( ).
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】 “賞中華詩詞,尋文化基因,品生活之美”,某校舉辦了首屆“中國詩詞大會”,經選拔后有50名學生參加決賽,這50名學生同時默寫50首古詩詞,若每正確默寫出一首古詩詞得2分,根據(jù)測試成績繪制出部分頻數(shù)分布表和部分頻數(shù)分布直方圖如圖表:
請結合圖表完成下列各題:
(1)①表中a的值為 ,中位數(shù)在第 組;
②頻數(shù)分布直方圖補充完整;
(2)若測試成績不低于80分為優(yōu)秀,則本次測試的優(yōu)秀率是多少?
(3)第5組10名同學中,有4名男同學,現(xiàn)將這10名同學平均分成兩組進行對抗練習,且4名男同學每組分兩人,求小明與小強兩名男同學能分在同一組的概率.
組別 | 成績x分 | 頻數(shù)(人數(shù)) |
第1組 | 50≤x<60 | 6 |
第2組 | 60≤x<70 | 8 |
第3組 | 70≤x<80 | 14 |
第4組 | 80≤x<90 | a |
第5組 | 90≤x<100 | 10 |
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【題目】如圖,已知直線y=﹣x+b(b>0)與其垂線y=x交于H,與雙曲線c:y=(k>0)在第一象限交于A,B,與兩坐標軸交于C,D.
(1)當A的坐標為(2,1)時,求k的值和OH的長;
(2)若CH2﹣HA2=4,求雙曲線c的方程.
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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于點A、B,與y軸交于點C,且OA=1,OB=3,頂點為D,對稱軸交x軸于點Q.
(1)求拋物線對應的二次函數(shù)的表達式;
(2)點P是拋物線的對稱軸上一點,以點P為圓心的圓經過A、B兩點,且與直線CD相切,求點P的坐標;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使得△DCM∽△BQC?如果存在,求出點M的坐標;如果不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A、B分別在x軸、y軸上.
(1)如圖1,點A與點C關于y軸對稱,點E、F分別是線段AC、AB上的點(點E不與點A、C重合),且∠BEF=∠BAO.若∠BAO=2∠OBE,求證:AF=CE;
(2)如圖2,若OA=OB,在點A處有一等腰△AMN繞點A旋轉,且AM=MN,∠AMN=90°.連接BN,點P為BN的中點,試猜想OP和MP的數(shù)量關系和位置關系,說明理由.
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【題目】如圖,已知直線y=﹣x+b(b>0)與其垂線y=x交于H,與雙曲線c:y=(k>0)在第一象限交于A,B,與兩坐標軸交于C,D.
(1)當A的坐標為(2,1)時,求k的值和OH的長;
(2)若CH2﹣HA2=4,求雙曲線c的方程.
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【題目】某服裝店準備購進甲、乙兩種服裝出售,甲種每件售價120元,乙種每件售價90元.每件甲服裝的進價比乙服裝的進價貴20元,購進3件甲服裝的費用和購進4件乙服裝的費用相等,現(xiàn)計劃購進兩種服裝共100件,其中甲種服裝不少于65件.
(1)甲種服裝進價為 元/件,乙種服裝進價為 元/件;
(2)若購進這100件服裝的費用不得超過7500元.
①求甲種服裝最多購進多少件?
②該服裝店對甲種服裝每件降價元,乙種服裝價格不變,如果這100件服裝都可售完,那么該服裝店如何進貨才能獲得最大利潤?
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【題目】在綜合與實踐課上,老師組織同學們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學活動.
(1)奮進小組用圖1中的矩形紙片ABCD,按照如圖2所示的方式,將矩形紙片沿對角線AC折疊,使點B落在點處,則與重合部分的三角形的類型是________.
(2)勤學小組將圖2中的紙片展平,再次折疊,如圖3,使點A與點C重合,折痕為EF,然后展平,則以點A、F、C、E為頂點的四邊形是什么特殊四邊形?請說明理由.
(3)創(chuàng)新小組用圖4中的矩形紙片ABCD進行操作,其中,,先沿對角線BD對折,點C落在點的位置,交AD于點G,再按照如圖5所示的方式折疊一次,使點D與點A重合,得折痕EN,EN交AD于點M.則EM的長為________cm.
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