Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2m,m），翻折矩形OABC,使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，得到折痕DE.設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F,折痕DE所在直線與y軸相交于點(diǎn)G，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、F、D的拋物線為。

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的式子表示）

（2）若點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，-3），求該拋物線的解析式。

（3）在（2）的條件下，設(shè)線段CD的中點(diǎn)為M，在線段CD上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使PM=EA?若存在，直接寫(xiě)出P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由。

  

Answer 1

解：（1）設(shè)D的坐標(biāo)為：（d,m)，根據(jù)題意得：CD=d,OC=m

（第26題圖）

因?yàn)镃D∥EA,所以∠CDE=∠AED,又因?yàn)椤螦ED=∠CED，所以∠CDE=∠CED，

所以CD=CE=EA=d,OE=2m-d,

在Rt△COE中，,，解得：。

所以D的坐標(biāo)為：（，m）

(2)作DH垂直于X軸，由題意得：OG=3，

OE=OA-EA=2m-=.EH=OH-OE=-=,DH=m.

△GOE∽△DHE,,。所以m=2.

所以此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）,CD=,CF=2，F(xiàn)D=BD=4-=1.5

因?yàn)镃D×FI=CF×FD,FI=2×1.5÷2.5=1.2

CI=,

所以F的坐標(biāo)為（1.6，3.2）

拋物線為經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、F、D，所以代入得：

解得：

所以拋物線解析式為。

（3）存在，因?yàn)镻M=EA，所以PM=CD.以M為圓心，MC為半徑化圓，交拋物線于點(diǎn)F和點(diǎn)P.如下圖：

點(diǎn)P坐標(biāo)為（1.6,3.2）和（0.9,3.2）。