【題目】在△ABC中,ACBC,∠ACB90°,DAB邊的中點,以D為直角頂點的RtDEF的另兩個頂點E,F分別落在邊AC,CB(或它們的延長線)上.

1)如圖1,若RtDEF的兩條直角邊DEDF與△ABC的兩條直角邊AC,BC互相垂直,則SDEF+SCEFSABC,求當SDEFSCEF2時,AC邊的長;

2)如圖2,若RtDEF的兩條直角邊DEDF與△ABC的兩條直角邊ACBC不垂直,SDEF+SCEFSABC,是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,請直接寫出SDEFSCEF,SABC之間的數(shù)量關系;

3)如圖3,若RtDEF的兩條直角邊DE,DF與△ABC的兩條直角邊ACBC不垂直,且點EAC的延長線上,點FCB的延長線上,SDEF+SCEFSABC是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,請直接寫出SDEF,SCEFSABC之間的數(shù)量關系.

【答案】14;(2)成立,理由詳見解析;(3)不成立,SDEFSCEFSABC

【解析】

1)證明DE是△ABC的中位線,得出DEBC,AC2CE,同理DFAC,證出四邊形DECF是正方形,得出CEDFCFDE,得出SDEFSCEF2DEDFDF2,求出DF2,即可得出AC2CE4;

2)連接CD,證明△CDE≌△BDF,得出SCDESBDF,即可得出結論;

3)不成立;連接CD,同(2)得出△DEC≌△DBF,得出SDEFS五邊形DBFECSCFE+SDBCSCFE+SABC

解:(1)∵∠ACB90°,DEAC,DFBC

∴四邊形DECF是矩形,

∵∠ACB90°,

BCAC,

DEAC,

DEBC

DAB邊的中點,

DE是△ABC的中位線,

DEBC,AC2CE,

同理:DFAC,

ACBC,

DEDF

∴四邊形DECF是正方形,

CEDFCFDE

SDEFSCEF2DEDFDF2,

DF2,

CE2,

AC2CE4

2SDEF+SCEFSABC成立,理由如下:

連接CD;如圖2所示:

ACBC,∠ACB90°,DAB中點,

∴∠B45°,∠DCEACB45°,CDAB,CDABBD,

∴∠DCE=∠B,∠CDB90°,SABC2SBCD,

∵∠EDF90°,

∴∠CDE=∠BDF,

在△CDE和△BDF中,

∴△CDE≌△BDFASA),

DEDFSCDESBDF

SDEF+SCEFSCDE+SCDFSBCDSABC

3)不成立;SDEFSCEFSABC;理由如下:

連接CD,如圖3所示:

同(1)得:△DEC≌△DBF,∠DCE=∠DBF135°,

SDEFS五邊形DBFEC

SCFE+SDBC,

SCFE+SABC

SDEFSCFESABC

SDEF、SCEFSABC的關系是:SDEFSCEFSABC

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