【題目】拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),過點(diǎn)A的直線交拋物線于點(diǎn)C(2,m),交y軸于點(diǎn)D.

(1)求拋物線及直線AC的解析式;

(2)點(diǎn)P是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)A、C不重合),過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E,求線段PE長度的最大值;

(3)點(diǎn)M(m,-3)是拋物線上一點(diǎn),問在直線AC上是否存在點(diǎn)F,使CMF是等腰直角三角形?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)y=x2-2x-3.y=-x-1.(2)(3)點(diǎn)F為(1,-2).

【解析】

試題分析:(1)將A、B的坐標(biāo)代入拋物線中,易求出拋物線的解析式;將C點(diǎn)橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo),再由待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式.

(2)PE的長實(shí)際是直線AC與拋物線的函數(shù)值的差,可設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,用x分別表示出P、E的縱坐標(biāo),即可得到關(guān)于PE的長、x的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求得PE的最大值.

(3)根據(jù)點(diǎn)F的不同位置分類討論.

試題解析:(1)將A(-1,0),B(3,0)代入y=x2+bx+c,

得b=-2,c=-3;

y=x2-2x-3.

將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2代入y=x2-2x-3,

得y=-3,C(2,-3);

直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1.

(2)設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x(-1x2),

則P、E的坐標(biāo)分別為:P(x,-x-1),E(x,x2-2x-3);

P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方,PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=-x2+x+2,

=-(x-2+

當(dāng)x=1/2時(shí),PE的最大值=

(3)①當(dāng)點(diǎn)F在D點(diǎn)時(shí),

將直線和拋物線的解析式組成方程組:

,

解得:,,

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,-3),

令x=0,y=x2-2x-3=-3,

M的坐標(biāo)為(0,-3)

由直線的解析式可求點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0.-1)

MC=2,MD=3-1=2,

MCy軸,

∴∠CMD=90°,

CMD是等腰直角三角形,

當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-1,0)時(shí),CMD是等腰直角三角形.

②當(dāng)F在P點(diǎn)時(shí),

當(dāng)點(diǎn)E是頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可得PM=PC,

由拋物線的解析式可得對(duì)稱軸為x=-1,

解方程組:,解得

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-2)

PC=MP=

MC=2,

PC2+PM2=MC2,

由勾股定理的逆定理可得:PMC為等腰直角三角形.

FMC為等腰直角三角形.

F點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-2).

③當(dāng)F不在P、D點(diǎn)時(shí),設(shè)點(diǎn)F(x,-x-1),

則CM=CF==2

即(x-2)2+(-x-3+3)2=4

解得:x1=2+,x2=2-,

F(2+,-3-)或F(2-,-3+ ).

當(dāng)F(2+,-3-)時(shí),F(xiàn)M=,

CM2+CF2MF2,不能構(gòu)成直角三角形,

同理:當(dāng)F(2-,-3+ )時(shí),也不能構(gòu)成直角三角形.

綜上所述,存在點(diǎn)F為(1,-2)時(shí).使CMF是等腰直角三角形

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(1)求拋物線的解析式并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo);

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