Question

2．如圖，拋物線y=a（x-1）²+h的頂點(diǎn)為M，與x軸正半軸交于點(diǎn)C，直線$y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$與拋物線交于點(diǎn)A（2，3），與x軸交于點(diǎn)B，且AB=BC．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)N，P為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作MN的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，問(wèn)：以M、N、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能否為等腰梯形？若能，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）將拋物線作適當(dāng)平移，頂點(diǎn)M落在直線AB上，與x軸交于D、E兩點(diǎn)，是否存在這樣的拋物線，使得△MDE∽△BAC？若存在請(qǐng)求出平移后的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出點(diǎn)B坐標(biāo)，進(jìn)一步求出AB的長(zhǎng)度，之后求出點(diǎn)C坐標(biāo)，代入拋物線求解即可；
（2）設(shè)出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，運(yùn)用坐標(biāo)表示相應(yīng)線段長(zhǎng)度，根據(jù)等腰梯形的相關(guān)性質(zhì)建立方程，求解；
（3）首先根據(jù)頂點(diǎn)在直線AB上設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)一步表示拋物線解析式，求出點(diǎn)D，E的坐標(biāo)，根據(jù)相似建立方程求解即可．

解答 解：（1）直線y=$\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$，令y=0，解得：x=-2，
∴點(diǎn)B（-2，0），
由A（2，3），可求AB=$\sqrt{（2+2）^{2}+（3-0）^{2}}$=5，
∴BC=AB=5，
∵點(diǎn)B（-2，0），
∴點(diǎn)C（3，0），
∵y=a（x-1）²+h過(guò)點(diǎn)A（2，3），點(diǎn)C（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=a+h}\\{0=4a+h}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{h=4}\end{array}\right.$，
所以拋物線的解析式為：y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，
（2）如圖1：

y=-x²+2x+3的對(duì)稱軸：x=1，頂點(diǎn)M（1，4），
由點(diǎn)P在直線AB上，設(shè)點(diǎn)P（m，$\frac{3}{4}m+\frac{3}{2}$），則點(diǎn)Q（m，-m²+2m+3），
根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得：4-（-m²+2m+3）=$\frac{3}{4}m+\frac{3}{2}$，
解得：m=2（舍去），或m=$\frac{3}{4}$，
此時(shí)：$\frac{3}{4}m+\frac{3}{2}$的值為：$\frac{33}{16}$，
以M、N、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能為等腰梯形，點(diǎn)P的坐標(biāo)：（$\frac{3}{4}$，$\frac{33}{16}$）；
（3）如圖2：連接MD，ME，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥x軸，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸，

設(shè)點(diǎn)M（n，$\frac{3}{4}n+\frac{3}{2}$），則拋物線的解析式：y=$-（x-n）^{2}+\frac{3}{4}n+\frac{3}{2}$，
令y=0，得：0=$-（x-n）^{2}+\frac{3}{4}n+\frac{3}{2}$，
解得：x=n+$\frac{\sqrt{3n+6}}{2}$，或x=n-$\frac{\sqrt{3n+6}}{2}$，
∴點(diǎn)D（n-$\frac{\sqrt{3n+6}}{2}$，0），
∴DG=n-（n-$\frac{\sqrt{3n+6}}{2}$）=$\frac{\sqrt{3n+6}}{2}$，
由點(diǎn)A（2，3），點(diǎn)C（3，0），可得：AH=3，DH=3-2=1，
∴tan∠ACH=3，
要使得△MDE∽△BAC，有：∠MDH=∠ACH，
∴tan∠MDG=3，$\frac{MG}{DG}$=3，
∴$\frac{3}{4}n+\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3n+6}}{2}$×3，
解得：n=10，或n=-2（舍去），
∴點(diǎn)M（10，9），
所以此時(shí)拋物線的解析式為：y=-（x-1）²+9．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，會(huì)求函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)，會(huì)運(yùn)用點(diǎn)求解析式，知道設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)表示線段，尋找關(guān)系列出方程并準(zhǔn)確求解是解題的關(guān)鍵．