Question

11．已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=AD=18，∠CDE=45°，CE=15，求線段AE的長．

Answer 1

分析 作DM⊥BC于M，延長BM到N使得MN=AE，由△DAE≌△DMN得∠ADE=∠MDN，DE=DN，進(jìn)而可以證明△CDE≌△CDN得EC=NC，由EC=AE+MC，設(shè)AE=x，則EB=18-x，BC=BM-CM=18-（15-x）=3+x，在RT△EBC中利用勾股定理即可解決．

解答 解：作DM⊥BC于M，延長BM到N使得MN=AE．
∵∠A=∠B=∠DMB=90°
∴四邊形ABCD是矩形，
∵AD=AB=18，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DM=BM，
∵AD=DM，∠A=∠DMN=90°，AE=MN，
∴△DAE≌△DMN，
∴∠ADE=∠MDN，DE=DN，
∵∠ADM=90°，∠EDC=45°，
∴∠ADE+∠CDM=45°，
∴∠CDM+∠MDN=45°，
∴∠CDN=∠CDE=45°，
∵CD=CD，∠CDN=∠CDE，DE=DN，
∴△CDE≌△CDN，
∴EC=NC，
∵AE=MN，
∴EC=AE+MC，
設(shè)AE=x，則EB=18-x，BC=BM-CM=18-（15-x）=3+x，
在RT△EBC中，∵EC²=EB²+BC²，
∴15²=（18-x）²+（3+x）²，
∴x=6或9，
∴AE為6或9．

點評 本題是四邊形綜合題型，主要考查了正方形的性質(zhì)全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，通過輔助線構(gòu)造正方形，再利用旋轉(zhuǎn)的思想構(gòu)造全等三角形解決問題．