Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點A（2，0）和B（t，0）（t≥2），與y軸交于點C，直線l：y=x+2t經過點C，交x軸于點D，直線AE交拋物線于點E，且有∠CAE=∠CDO，作CF⊥AE于點F．

（1）求∠CDO的度數；
（2）求出點F坐標的表達式（用含t的代數式表示）；
（3）當S△COD﹣S四邊形COAF=7時，求拋物線解析式；
（4）當以B，C，O三點為頂點的三角形與△CEF相似時，請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線l：y=x+2t與y軸點C，交x軸于點D，

∴C（0，2t），D（﹣2t，0）

∴OC=OD，

∵∠COD=90°，

∴∠CDO=∠DCO=45°

（2）

解：如圖1，作FG⊥x軸于點G，FH⊥y軸于點H，

∵∠HOG=∠OGF=∠FHO=90°，

∴四邊形OGFH是矩形

∴∠HFG=90°，

∴∠HFA+∠AFG=90°

又∵CF⊥AE，

∴∠CFH+∠HFA=90°

∴∠CFH=∠AFG，

又∵∠CAE=∠CDO=45°，

∴∠FCA=45°，

∴CF=AF，

又∵∠FGA=∠CHF=90°，

在△FGA和△FHC中，

∴△FGA≌△FHC，

∴FH=FG，HC=AG，

設F（m，m）

則2t﹣m=m﹣2，

得m=t+1，

∴F（t+1，t+1）

（3）

解：∵S△COD﹣S四邊形COAF=S△COD﹣S正方形HOGF=7

∴ =7，

解得：t=4或﹣2（舍去），

則A點坐標（2，0），B點坐標（4，0），C點坐標（0，8）

設y=a（x﹣2）（x﹣4），

把C（0，8）代入y=a（x﹣2）（x﹣4），

解得a=1，

∴y=（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8

（4）

解：t=3或2．

如圖2，作ET⊥HF于T，

求得：E的橫坐標是 ，CH=t﹣1，FT= ，

由△HCF∽△TFE，

則 ，

得：

當△OBC∽△FEC時， =2，

即 =2，

解得：t=3或t=﹣1（ 舍去），

當△OBC∽△FCE時， ，

即 ，

解得：t=2或t=0（舍去）．

∴t=3或2

【解析】（1）求出點C，D的坐標，得到OC=OD，即可解答；（2）如圖1，作FG⊥x軸于點G，FH⊥y軸于點H，利用已知條件證明△FGA≌△FHC，得到FH=FG，HC=AG，設F（m，m）則2t﹣m=m﹣2，求出m的值，即可解答；（3）如圖2，作ET⊥HF于T，分別得到E的橫坐標是 ，CH=t﹣1，FT= ，再由△HCF∽△TFE，得到 ，即 ，分類討論：當△OBC∽△FEC時；當△OBC∽△FCE時；求出t的值，即可解答．