Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+6分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=﹣x2+8，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線在第一象限部分上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ；

（2）探究發(fā)現(xiàn)：

①假設(shè)P與點(diǎn)D重合，則PB+PC= ；（直接填寫答案）

②試判斷：對于任意一點(diǎn)P，PB+PC的值是否為定值？并說明理由；

（3）試判斷△PAB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（4，0），（0，8）；（2）①PB+PC=10；②是，見解析（3）△PAB的面積存在最大值，且最大值為13，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案；

（2）①根據(jù)線段的和差，可得PB，可得答案；

②根據(jù)勾股定理，可得PB的長，根據(jù)線段和差，可得答案；

（3）根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得最大值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案．

解：（1）y=﹣x+6當(dāng)y=0時(shí)，x=4，即A（4，0），

y=﹣x2+8當(dāng)x=0時(shí)，y=8，即D點(diǎn)坐標(biāo)（0，8），

故答案為：（4，0），（0，8）；

（2）①PB=PO﹣OB=8﹣6=2，PB+PC=8+2=10；

②是，理由如下：

過點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q，

∵P在拋物線上，且在第一象限，

∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x2+8）．

則PQ=x，PC=﹣x2+8．

當(dāng)4≤x＜8時(shí)，PB===x2+2，

∴PB+PC=x2+2+（﹣x2）+8=10，

當(dāng)0＜x＜4時(shí)，同理可得；

（3）存在．

設(shè)△PAB的面積為S．

由（2）假設(shè)．

當(dāng)4≤x＜8時(shí)，有S=﹣﹣

=﹣x2+3x+4=﹣（x﹣6）2+13．

當(dāng)0＜x＜4時(shí)，s=﹣（x﹣6）2+13．

當(dāng)x=6時(shí)，S最大=13，y=﹣×36+8=，

∴△PAB的面積存在最大值，且最大值為13，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，）