【題目】(定義)如圖1,A,B為直線l同側(cè)的兩點,過點A作直線l的對稱點,連接B交直線l于點P,連接AP,則稱點P為點A,B關(guān)于直線等角點”.

(運用)如圖2,在平面直坐標系xOy中,已知A(2,),B(-2,-)兩點.

(1)C(4,),D(4,),E(4,)三點中,點  是點A,B關(guān)于直線x=4的等角點;

(2)若直線l垂直于x軸,點P(m,n)是點A,B關(guān)于直線l的等角點,其中m>2,APB=α,求證:

(3)若點P是點A,B關(guān)于直線y=ax+b(a≠0)的等角點,且點P位于直線AB的右下方,當∠APB=60°時,求b的取值范圍(直接寫出結(jié)果).

【答案】(1)C;(2)證明見解析;(3)見解析.

【解析】

(1)根據(jù)“等角點”的定義找到A關(guān)于x=4的對稱點A',連接A'B,求得與x=4的交點即可;

(2)根據(jù)“等角點”的定義和三角函數(shù)的知識,再利用APG∽△BPH,即可得到;

(3)構(gòu)造輔助圓O解題,當直線y=ax+b與O相交的另一個交點為Q時,利用圓周角定理以及對稱性可證明ABQ為等邊三角形,從而確定Q為定點.再過A,Q分別作y軸的垂線,構(gòu)造相似三角形(RtAMORtONQ),利用相似三角形對應邊成比例即可求出Q的坐標,再利用待定系數(shù)法求出BQ和AQ的解析式,由此即可確定b的取值范圍.

解:(1)點關(guān)于直線的對稱點為

直線解析式為:

時,

故答案為:

(2)如圖,過點作直線的對稱點,連,交直線于點

于點

關(guān)于直線對稱

,即

,即

,

中,

(3)如圖,當點位于直線的右下方,時,

在以為弦,所對圓周為,且圓心在下方

若直線與圓相交,設圓與直線的另一個交點為

由對稱性可知:,

是等邊三角形

線段為定線段

為定點

若直線與圓相切,易得、重合

直線過定點

,過點、分別作軸,軸,垂足分別為、

是等邊三角形

,

,點坐標為

設直線解析式為

、坐標代入得

解得

直線的解析式為:.

設直線的解析式為:,

兩點代入,

解得.

直線的解析式為:.

若點點重合,則直線與直線重合,此時,.

若點與點重合,則直線與直線重合,此時,.

,且點位于右下方,

.

練習冊系列答案
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畫出A'B'C';

A'B'C'沿x軸方向平移,需平移 個單位長度,能使得B'C'所在的直線與P相切.

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【題目】如圖,D、E分別是⊙O兩條半徑OAOB的中點,

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1)點A的坐標為   

2)求這條拋物線所對應的函數(shù)表達式.

3)點P在線段OA上時,若以B、E、F為頂點的三角形與△FPA相似,求m的值.

4)若E、F、P三個點中恰有一點是其它兩點所連線段的中點(三點重合除外),稱E、F、P三點為“共諧點”.直接寫出E、F、P三點成為“共諧點”時m的值.

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