Question

【題目】綜合與探究

如圖，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)為.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)在直線上是否存在一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和最小？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)在軸上取一動(dòng)點(diǎn)，，過點(diǎn)作軸的垂線，分別交拋物線，，于點(diǎn)，，.

①判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由

②連接，，，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最大？最大值為多少？

Answer 1

【答案】(1)，點(diǎn)坐標(biāo)為；(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為；(3)①；②當(dāng)為-2時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為4.

【解析】

（1）用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式，然后化為頂點(diǎn)式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；

（2）利用軸對(duì)稱-最短路徑方法確定點(diǎn)M，然后用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，進(jìn)而可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）①先求出直線AD的解析式，表示出點(diǎn)F、G、P的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出FG和FP的長(zhǎng)度，然后即可判斷出線段與的數(shù)量關(guān)系；

②根據(jù)割補(bǔ)法分別求出△AED和△ACD的面積，然后根據(jù)列出二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

解：(1)由拋物線與軸交于，兩點(diǎn)得，

解得，

故拋物線解析式為，

由得點(diǎn)坐標(biāo)為；

(2)在直線上存在一點(diǎn)，到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和最小.

根據(jù)拋物線對(duì)稱性，

∴，

∴使的值最小的點(diǎn)應(yīng)為直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，

∴，

設(shè)直線解析式為直線，

把、分別代入得

，解之得：，

∴直線解析式為，

把代入得，，

∴，

即當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和最小時(shí)的坐標(biāo)為；

(3)①，

理由為：

設(shè)直線解析式為，

把、分別代入直線得

，解之得：，

∴直線解析式為，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

同理的坐標(biāo)為，

則，，

∴；

②∵， ，，

∴AO=3，DM=2，

∴S△ACD=S△ADM+S△CDM=.

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，

∴

，

∴當(dāng)為-2時(shí)，的最大值為1.

∴，

∴當(dāng)為-2時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為4.