【題目】如圖,在等腰梯形ABCD中,ADBC,ABCD,點M、N分別為AD、BC的中點,點E、F分別是BMCM的中點.

(1)求證:ABM≌△DCM.

(2)四邊形MENF是什么圖形?請證明你的結(jié)論.

(3)若四邊形MENF是正方形,則梯形的高與底邊BC有何數(shù)量關系?請說明理由.

【答案】1)見解析;(2)四邊形MENF是菱形,理由見解析;(3MN=BC.,理由見解析;

【解析】

1)已知四邊形ABCD為等腰梯形,推出AB=CD,∠A=DAM=DM故可證明三角形全等.

2)由1證明的三角形全等和三角形中位線定理可得出各邊之間的關系,推出四邊形MENF是菱形.

3)由梯形的性質(zhì)及四邊形MENF是正方形推出MNBC,即可得MN=BC

(1)ABCD為等腰梯形,

AB=DC,∠A=D.

MAD中點,

AM=DM.

∴△ABM≌△DCM.

(2)四邊形MENF是菱形,

ABM≌△DCM,得MB=MC,

E、F. NMB、MC、BC的中點,

ME=BM,MF=MC,NF=BM,NE=MC.

ME=MF=FN=NE.

∴四邊形MENF是菱形.

(3)梯形的高等于底邊BC的一半,理由:連接MN,

MENF是正方形,

∴∠BMC=90°.

MB=MC,N是中點,

MNBCMN=BC.

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