【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的圖象經(jīng)過點,交x軸于點A、點在B點左側(cè),頂點為D.
求拋物線的解析式及點A、B的坐標(biāo);
將沿直線BC對折,點A的對稱點為,試求的坐標(biāo);
拋物線的對稱軸上是否存在點P,使?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】 , A′(1,4); P的坐標(biāo)為或
【解析】分析:(1)將(0,2)代入拋物線解析式求得a的值,從而得出拋物線的解析式,再令y=0,得出x的值,即可求得點A、B的坐標(biāo);
(2)如圖2,作A'H⊥x軸于H,可證明△AOC∽△COB,得出∠ACO=∠CBO,由A'H∥OC,即可得出A′H的長,即可求得A′的坐標(biāo);
(3)分兩種情況:①如圖3,以AB為直徑作⊙M,⊙M交拋物線的對稱軸于P(BC的下方),由圓周角定理得出點P坐標(biāo);②如圖4,類比第(2)小題的背景將△ABC沿直線BC對折,點A的對稱點為A',以A'B為直徑作⊙M',⊙M'交拋物線的對稱軸于P'(BC的上方),作M'E⊥A'H于E,交對稱軸于F,求得M'F,在Rt△M'P'F中,由勾股定理得出P'F得的長,從而得出點P的坐標(biāo)即可.
詳解:(1)把C(0,2)代入y=ax2-3ax-4a得-4a=2,
解得a=.
所以拋物線的解析式為y=x2+x+2.
令x2+x+2=0,可得:x1=-1,x2=4.
所以A(-1,0),B(4,0).
(2)如圖2,作A'H⊥x軸于H,
因為,且∠AOC=∠COB=90°,
所以△AOC∽△COB,
所以∠ACO=∠CBO,可得∠ACB=∠OBC+∠BCO=90°,
由A'H∥OC,AC=A'C得OH=OA=1,A'H=2OC=4;
所以A'(1,4);
(3)分兩種情況:
①如圖3,以AB為直徑作⊙M,⊙M交拋物線的對稱軸于P(BC的下方),
由圓周角定理得∠CPB=∠CAB,
易得:MP=AB.所以P(,).
②如圖4,類比第(2)小題的背景將△ABC沿直線BC對折,
點A的對稱點為A',以A'B為直徑作⊙M',⊙M'交拋物線的對稱軸于P'(BC的上方),
則∠CP2B=∠CA'B=∠CAB.
作M'E⊥A'H于E,交對稱軸于F.
則M'E=BH=,EF=1=.
所以M'F==1.
在Rt△M'P'F中,P'F==,
所以P'M=2+.
所以P'(,2+).
綜上所述,P的坐標(biāo)為(,)或(,2+).
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【題目】如圖,已知P為正方形ABCD外的一點,PA=1,PB=2,將△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°,使點P旋轉(zhuǎn)至點P′,且AP′=3,則∠BP′C的度數(shù)為 ( )
A.105° B.112.5° C.120° D.135°
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【題目】順次聯(lián)結(jié)對角線互相垂直的等腰梯形各邊中點所得的四邊形是( )
A. 平行四邊形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
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【題目】已知О是直線AB上的一點,,OE平分.
(1)在圖(a)中,若,求的度數(shù);
(2)在圖(a)中,若,直接寫出的度數(shù)(用含的代數(shù)式表示)
(3)將圖(a)中的繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖(b)的位置.
①探究和的度數(shù)之間的關(guān)系,直接寫出結(jié)論;
②在的內(nèi)部有一條射線OF,滿足:,試確定與的度數(shù)之間的關(guān)系,并說明理由.
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【題目】如圖,從數(shù)軸上的原點開始,先向左移動2cm到達(dá)A點,再向左移動4cm到達(dá)B點,然后向右移動10cm到達(dá)C點.
(1)用1個單位長度表示1cm,請你在題中所給的數(shù)軸上表示出A、B、C三點的位置;
(2)把點C到點A的距離記為CA,則CA=______cm;
(3)若點B以每秒3cm的速度向左移動,同時A、C點以每秒lcm、5cm的速度向右移動,設(shè)移動時間為t(t>0)秒,試探究CA﹣AB的值是否會隨著t的變化而改變?請說明理由.
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【題目】下列各點中,在函數(shù) y=2x-5 圖象上的點是( )
A. (0,0)B. (,-4)C. (3,-1)D. (-5,0)
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【題目】如圖,∠APB=30°,圓心在PB上的⊙O的半徑為1cm,OP=3cm,若⊙O沿BP方向平移,當(dāng)⊙O與PA相切時,圓心O平移的距離為_____cm.
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【題目】如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,點M、N分別為AD、BC的中點,點E、F分別是BM、CM的中點.
(1)求證:△ABM≌△DCM.
(2)四邊形MENF是什么圖形?請證明你的結(jié)論.
(3)若四邊形MENF是正方形,則梯形的高與底邊BC有何數(shù)量關(guān)系?請說明理由.
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【題目】某中學(xué)計劃根據(jù)學(xué)生的興趣愛好組建課外興趣小組,并隨機抽取了部分同學(xué)的興趣愛好進(jìn)行調(diào)查,將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成下列兩幅統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中的信息,完成下列問題:
學(xué)校這次調(diào)查共抽取了 名學(xué)生;
求的值并補全條形統(tǒng)計圖;
在扇形統(tǒng)計圖中,“圍棋”所在扇形的圓心角度數(shù)為 ;
設(shè)該校共有學(xué)生名,請你估計該校有多少名學(xué)生喜歡足球.
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