【題目】如圖,拋物線的頂點為C(﹣1,﹣1),且經過點A、點B和坐標原點O,點B的橫坐標為﹣3.
(1)求拋物線的解析式.
(2)求點B的坐標及△BOC的面積.
(3)若點D為拋物線上的一點,點E為對稱軸上的一點,且以點A、O、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形,請在左邊的圖上標出D和E的位置,再直接寫出點D的坐標.
【答案】(1)y=(x+1)2﹣1 (2)(﹣3,3),3 (3)答案見解析
【解析】
(1)根據頂點坐標設出拋物線的頂點解析式,將原點坐標代入求出a的值,即可確定出拋物線的解析式.
(2)根據點B的橫坐標,代入拋物線解析式求得點B坐標;過點B作BM⊥y軸于點M,過點C作CN⊥y軸于點N,構建一個直角梯形,進而求出△BOC的面積.
(3)根據題意分三種情況考慮,D在第一象限,第二象限以及第三象限,利用平行四邊形的性質和坐標與圖形的性質求出D的坐標即可.
解:(1)設拋物線解析式為y=a(x+1)2﹣1,
將點O(0,0)代入,得:a﹣1=0,
解得:a=1,
則拋物線解析式為y=(x+1)2﹣1;
(2)當x=﹣3時,y=3,
所以點B坐標為(﹣3,3),
如圖1,過點B作BM⊥y軸于點M,過點C作CN⊥y軸于點N,
則BM=OM=3,CN=ON=1,
∴MN=4,
則S△BOC=S梯形BMNC﹣S△BOM﹣S△CON
=×(1+3)×4﹣×3×3﹣×1×1
=3;
(3)如圖2所示,
分三種情況考慮:
當D1在第一象限時,若四邊形AOD1E1為平行四邊形,
∴AO=E1D1=2,
∵拋物線對稱軸為直線x=﹣1,
∴D1橫坐標為1,
將x=1代入拋物線y=x2+2x=1+2=3,即D1(1,3);
當D2在第二象限時,同理D2(﹣3,3);
當D3在第三象限時,若四邊形AE2OD3為平行四邊形,此時D3與C重合,即D3(﹣1,﹣1);
綜上,點D的坐標為(1,3)或(﹣3,3)或(﹣1,﹣1).
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【題目】如圖,在菱形ABCD和菱形BEFG中,點A、B、E在同一直線上,P是線段DF的中點,連接PG,PC.若∠ABC=∠BEF=60°,則=_____.
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【題目】某區(qū)為了了解該區(qū)常駐市民對跑步、籃球、足球、羽毛球、舞蹈等體育項目的喜愛情況,在該區(qū)范圍內隨機抽取了若干名常駐市民,對他們喜愛以上的體育項目(每人只選一項)進行了問卷調查,將數據進行統(tǒng)計并繪制成了如圖所示的頻數分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖(均不完整)
(1)在這次問卷調查中,一共抽查 名常駐市民,籃球項目所占圓心角的度數是 ;估計該區(qū)1200萬常駐市民中有 人喜愛足球運動、有 人喜歡跑步;
(2)補全頻數分布直方圖;
(3)若這次問卷調查中喜歡跑步的人員中有1名男士,喜歡舞蹈的人員中有2名女士,現從喜歡跑步和喜歡舞蹈的人員中隨機選取兩名作區(qū)代表參加重慶市的競技比賽,用列表法或樹狀圖求所選的兩名恰好是一位喜歡跑步的男士和一位喜歡舞蹈的女士的概率.
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【題目】如圖,將半徑為4,圓心角為90°的扇形BAC繞A點逆時針旋轉60°,點B、C的對應點分別為點D、E且點D剛好在上,則陰影部分的面積為_____.
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【題目】閱讀下面材料:
小天在學習銳角三角函數中遇到這樣一個問題:在中,,,則______
小天根據學習幾何的經驗,先畫出了幾何圖形如圖,他發(fā)現不是特殊角,但它是特殊角的一半,若構造有特殊角的直角三角形,則可能解決這個問題于是小天嘗試著在CB邊上截取,連接如圖,通過構造有特殊角的直角三角形,經過推理和計算使問題得到解決.
請回答:______.
參考小天思考問題的方法,解決問題:
如圖3,在等腰中,,,請借助,構造出的角,并求出該角的正切值.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,若點P和點關于y軸對稱,點和點關于直線l對稱,則稱點是點P關于y軸,直線l的二次對稱點.
如圖1,點.
若點B是點A關于y軸,直線:的二次對稱點,則點B的坐標為______;
若點是點A關于y軸,直線:的二次對稱點,則a的值為______;
若點是點A關于y軸,直線的二次對稱點,則直線的表達式為______;
如圖2,的半徑為若上存在點M,使得點是點M關于y軸,直線:的二次對稱點,且點在射線上,b的取值范圍是______;
是x軸上的動點,的半徑為2,若上存在點N,使得點是點N關于y軸,直線:的二次對稱點,且點在y軸上,求t的取值范圍.
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【題目】二次函數y=ax2+bx+c(a、b、c為常數且a≠0)中的x與y的部分對應值如下表:
x | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 12 | 5 | 0 | ﹣3 | ﹣4 | ﹣3 | 0 | 5 | 12 |
給出了結論:
(1)二次函數y=ax2+bx+c有最小值,最小值為﹣3;
(2)當﹣<x<2時,y<0;
(3)a﹣b+c=0;
(4)二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個交點,且它們分別在y軸兩側
則其中正確結論的個數是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】(1)問題發(fā)現
如圖1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,連接AC,BD交于點M.填空:
①的值為 ;
②∠AMB的度數為 .
(2)類比探究
如圖2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,連接AC交BD的延長線于點M.請判斷的值及∠AMB的度數,并說明理由;
(3)拓展延伸
在(2)的條件下,將△OCD繞點O在平面內旋轉,AC,BD所在直線交于點M,若OD=1,OB=,請直接寫出當點C與點M重合時AC的長.
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