Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，點D、E都在邊BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，則DE的長為_____．

Answer 1

【答案】3﹣3．

【解析】

將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACF，連接EF，過點E作EM⊥CF于點M，過點A作AN⊥BC于點N，由AB=AC=2、∠BAC=120°，可得出BC=6、∠B=∠ACB=30°，通過角的計算可得出∠FAE=60°，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證出△ADE≌△AFE（SAS），進而可得出DE=FE，設(shè)CE=2x，則CM=x，EM=x、FM=4x-x=3x、EF=ED=6-6x，在Rt△EFM中利用勾股定理可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再將其代入DE=6-6x中即可求出DE的長．

將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACF，連接EF，過點E作EM⊥CF于點M，過點A作AN⊥BC于點N，如圖所示，

，

∵AB=AC=2,∠BAC=120°，

∴BN=CN,∠B=∠ACB=30°，

在Rt△BAN中,∠B=30°,AB=2，

∴AN=AB=,BN= =3，

∴BC=6，

∵∠BAC=12°,∠DAE=60°，

∴∠BAD+∠CAE=60°，

∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°，

在△ADE和△AFE中,，

∴△ADE≌△AFE(SAS)，

∴DE=FE，

∵BD=2CE,BD=CF,∠ACF=∠B=30°，

∴設(shè)CE=2x,則CM=x,EM=x，F(xiàn)M=4xx=3x，EF=ED=66x.

在Rt△EFM中,FE=66x,FM=3x,EM=x，

∴EF2=FM2+EM2，,即(66x)2=(3x)2+(x)2，

解得：x1=，x2= (不合題意,舍去)，

∴DE=66x=.

故答案為：.