Question

（1）探究新知：如圖1，已知△ABC與△ABD的面積相等，試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）結(jié)論應(yīng)用：如圖2，點M，N在反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象上，過點M作ME⊥y軸，過點N作NF⊥x軸，垂足分別為E，F(xiàn)． 試證明：MN∥EF．
（3）變式探究：如圖3，點M，N在反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象上，過點M作ME⊥y軸，過點N作NF⊥x軸，過點M作MG⊥x軸，過點N作NH⊥y軸，垂足分別為E、F、G、H．試證明：EF∥GH．

Answer 1

分析：（1）分別過點C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足為G，H，則∠CGA=∠DHB=90°，根據(jù)△ABC與△ABD的面積相等，證明AB與CD的位置關(guān)系；
（2）連結(jié)MF，NE，設(shè)點M的坐標為（x₁，y₁），點N的坐標為（x₂，y₂），進一步證明S_△EFM=S_△EFN，結(jié)合（1）的結(jié)論即可得到MN∥EF；
（3）連接FM、EN、MN，結(jié)合（2）的結(jié)論證明出MN∥EF，GH∥MN，于是證明出EF∥GH．

解答：（1）分別過點C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足為G，H，則∠CGA=∠DHB=90°．
∴CG∥DH．
∵△ABC與△ABD的面積相等，
∴CG=DH．
∴四邊形CGHD為平行四邊形．
∴AB∥CD．

（2）證明：連結(jié)MF，NE．
設(shè)點M的坐標為（x₁，y₁），點N的坐標為（x₂，y₂）．
∵點M，N在反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象上，
∴x₁y₁=k，x₂y₂=k．
∵ME⊥y軸，NF⊥x軸，
∴OE=y₁，OF=x₂．
∴S_△EFM=

1

2

x₁y₁=

1

2

k，
S_△EFN=

1

2

x2y2=

1

2

k．
∴S_△EFM=S_△EFN．
由（1）中的結(jié)論可知：MN∥EF．  

（3）證明：連接FM、EN、MN，
同（2）可證MN∥EF，
同法可證GH∥MN，
故EF∥GH．

點評：本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)同底等高的兩個三角形面積相等進行解答問題，此題難度不是很大，但是三問之間都有一定的聯(lián)系．