(1)探究新知:
①如圖1,已知AD∥BC,AD=BC,點(diǎn)M,N是直線CD上任意兩點(diǎn).
求證:△ABM與△ABN的面積相等.
②如圖2,已知AD∥BE,AD=BE,AB∥CD∥EF,點(diǎn)M是直線CD上任一點(diǎn),點(diǎn)G是直線EF上任一點(diǎn),試判斷△ABM與△ABG的面積是否相等,并說明理由.
(2)結(jié)論應(yīng)用:
如圖3,拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為C(1,4),交x軸于點(diǎn)A(3,0),交y軸于點(diǎn)D,試探究在拋物線y=ax2+bx+c上是否存在除點(diǎn)C以外的點(diǎn)E,使得△ADE與△ACD的面積相等?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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分析:(1)①由于CD∥AB,所以△ABM和△ABN中,AB邊上的高相等,則兩個(gè)三角形是同底等高的三角形,所以它們的面積相等;
②分別過D、E作AB的垂線,設(shè)垂足為H、K;通過證△DAH≌△EBK,來得到DH=KE;則所求的兩個(gè)三角形是同底等高的三角形,由此得證;
(2)根據(jù)A、C的坐標(biāo),即可求得拋物線的解析式,進(jìn)而可求出A、D的解析式;用待定系數(shù)法可確定直線AD的解析式;假設(shè)存在符合條件的E點(diǎn),過C作CD⊥x軸于D,交直線AD于H;過E作EF⊥x軸于F,交直線AD于P;根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程及直線AD的解析式,易求得H點(diǎn)的坐標(biāo),即可得到CH的長;設(shè)出E點(diǎn)橫坐標(biāo),根據(jù)直線AD和拋物線的解析式,可表示出P、E的縱坐標(biāo),即可得到PE的長;根據(jù)(1)題得到的結(jié)論,當(dāng)PE=CH時(shí),所求的兩個(gè)三角形面積相等,由此可列出關(guān)于E點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程,從而求出E點(diǎn)的坐標(biāo).(需注意的是E點(diǎn)可能在直線AD的上方或下方,這兩種情況下PE的表達(dá)式會(huì)有所不同,要分類討論)
解答:證明:(1)①分別過點(diǎn)M,N作ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分別為點(diǎn)E,F(xiàn)
∵AD∥BC,AD=BC,
∴四邊形ABCD為平行四邊形;
∴AB∥CD;
∴ME=NF;
∵S△ABM=
1
2
AB•ME
,S△ABN=
1
2
AB•NF
,
∴S△ABM=S△ABN(1分)
②解:相等;理由如下:分別過點(diǎn)D,E作DH⊥AB,EK⊥AB,垂足分別為H,K;
則∠DHA=∠EKB=90°;
∵AD∥BE,
∴∠DAH=∠EBK;
∵AD=BE,
∴△DAH≌△EBK;
∴DH=EK;(2分)
∵CD∥AB∥EF,
∴S△ABM=
1
2
AB•DH
,S△ABG=
1
2
AB•EK
,
∴S△ABM=S△ABG;(3分)
解:(2)存在.(4分)
因?yàn)閽佄锞的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C(1,4),
所以,可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-1)2+4;
又因?yàn)閽佄锞經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),
所以將其坐標(biāo)代入上式,得0=a(3-1)2+4,解得a=-1;
∴該拋物線的表達(dá)式為y=-(x-1)2+4,
即y=-x2+2x+3;(5分)
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3);
設(shè)直線AD的表達(dá)式為y=kx+3,
代入點(diǎn)A的坐標(biāo),得0=3k+3,解得k=-1;
∴直線AD的表達(dá)式為y=-x+3;
過C點(diǎn)作CG⊥x軸,垂足為G,交AD于點(diǎn)H;則H點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1+3=2;
∴CH=CG-HG=4-2=2;(6分)
設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m,則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-m2+2m+3;
過E點(diǎn)作EF⊥x軸,垂足為F,交AD于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3-m,EF∥CG;
由﹙1﹚可知:若EP=CH,則△ADE與△ADC的面積相等;
①若E點(diǎn)在直線AD的上方,
則PF=3-m,EF=-m2+2m+3,
∴EP=EF-PF=-m2+2m+3-(3-m)=-m2+3m;
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∴-m2+3m=2,
解得m1=2,m2=1;(7分)
當(dāng)m=2時(shí),PF=3-2=1,EF=1+2=3;
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3);
同理當(dāng)m=1時(shí),E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),與C點(diǎn)重合;(8分)
②若E點(diǎn)在直線AD的下方,
則PE=(3-m)-(-m2+2m+3)=m2-3m;(9分)
∴m2-3m=2,
解得m3=
3+
17
2
m4=
3-
17
2
;(10分)
當(dāng)m=
3+
17
2
時(shí),E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3-
3+
17
2
-2=-
1+
17
2
;
當(dāng)m=
3-
17
2
時(shí),E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3-
3-
17
2
-2=
-1+
17
2

∴在拋物線上存在除點(diǎn)C以外的點(diǎn)E,使得△ADE與△ACD的面積相等,E點(diǎn)的坐標(biāo)為E1(2,3);E2
3+
17
2
,-
1+
17
2
);E3
3-
17
2
,
-1+
17
2
).(12分)
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點(diǎn)評(píng):此題主要考查了平行線的性質(zhì)、三角形面積的求法、全等三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識(shí);同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,能力要求高,難度較大.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)探究新知:如圖1,已知△ABC與△ABD的面積相等,試判斷AB與CD的位置關(guān)系,并說明理由.
(2)結(jié)論應(yīng)用:
①如圖2,點(diǎn)M,N在反比例函數(shù)y=
kx
(k>0)的圖象上,過點(diǎn)M作ME⊥y軸,過點(diǎn)N作NF⊥x軸,垂足分別為E,F(xiàn),試證明:MN∥EF;
②若①中的其他條件不變,只改變點(diǎn)M,N的位置如圖3所示,請(qǐng)判斷MN與EF是否平行.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)探究新知:
如圖1,已知△ABC與△ABD的面積相等,試判斷AB與CD的位置關(guān)系,并說明理由.
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(2)結(jié)論應(yīng)用:
①如圖2,點(diǎn)M,N在反比例函數(shù)y=
kx
(k>0)的圖象上,過點(diǎn)M作ME⊥y軸,過點(diǎn)N作NF⊥x軸,垂足分別為E,F(xiàn).
試證明:MN∥EF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•日照)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB=5.
(Ⅰ)探究新知
如圖①,⊙O是△ABC的內(nèi)切圓,與三邊分別相切于點(diǎn)E、F、G.
(1)求證:內(nèi)切圓的半徑r1=1; 
(2)求tan∠OAG的值;
(Ⅱ)結(jié)論應(yīng)用
(1)如圖②,若半徑為r2的兩個(gè)等圓⊙O1、⊙O2外切,且⊙O1與AC、AB相切,⊙O2與BC、AB相切,求r2的值;
(2)如圖③,若半徑為rn的n個(gè)等圓⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切,且⊙O1與AC、AB相切,⊙On與BC、AB相切,⊙O1、⊙O2、…、⊙On均與AB相切,求rn的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•河北一模)(1)探究新知:
①如圖1,已知AD∥BC,AD=BC,點(diǎn)M,N是直線CD上任意兩點(diǎn).則S△ABM
=
=
S△ABN(填“<”,“=”,“>”).
②如圖2,已知AD∥BE,AD=BE,AB∥CD∥EF,點(diǎn)M是直線CD上任一點(diǎn),點(diǎn)G是直線EF上任一點(diǎn).試判斷△ABM與△ABG的面積是否相等,并說明理由.
(2)結(jié)論應(yīng)用:
如圖3,拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為C(1,4),交x軸于點(diǎn)A(3,0),交y軸于點(diǎn)D.試探究在拋物線y=ax2+bx+c上是否存在除點(diǎn)C以外的點(diǎn)E,使得△ADE與△ACD的面積相等?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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