解答:解:(1)①如圖①,分別過點(diǎn)M,N作ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分別為點(diǎn)E,F(xiàn)
∵AD∥BC,AD=BC,
∴四邊形ABCD為平行四邊形;
∴AB∥CD;
∴ME=NF;
∵S
△ABM=
ABAB•ME,S
△ABN=
ABAB•NF,
∴S
△ABM=S
△ABN.
②相等.理由如下:如圖②,分別過點(diǎn)D,E作DH⊥AB,EK⊥AB,垂足分別為H,K.
則∠DHA=∠EKB=90°.
∵AD∥BE,∴∠DAH=∠EBK.
∵AD=BE,
∴△DAH≌△EBK.∴DH=EK.
∵CD∥AB∥EF,
∴S
△ABM=
AB•DH,S
△ABG=
AB•EK,
∴S
△ABM=S
△ABG.
(2)答:存在.
因?yàn)閽佄锞的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C(1,4),所以,可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-1)
2+4.
又因?yàn)閽佄锞經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),將其坐標(biāo)代入上式,得0=a(3-1)
2+4,解得a=-1.
∴該拋物線的表達(dá)式為y=-(x-1)
2+4,即y=-x
2+2x+3.
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3).
設(shè)直線AD的表達(dá)式為y=kx+3,代入點(diǎn)A的坐標(biāo),得0=3k+3,解得k=-1.
∴直線AD的表達(dá)式為y=-x+3.
過C點(diǎn)作CG⊥x軸,垂足為G,交AD于點(diǎn)H.則H點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1+3=2.
∴CH=CG-HG=4-2=2.
設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m,則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-m
2+2m+3.
過E點(diǎn)作EF⊥x軸,垂足為F,交AD于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3-m,EF∥CG.
由﹙1﹚可知:若EP=CH,則△ADE與△ADC的面積相等.
①若E點(diǎn)在直線AD的上方,
則PF=3-m,EF=-m
2+2m+3.
∴EP=EF-PF=-m
2+2m+3-(3-m)=-m
2+3m.
∴-m
2+3m=2.
解得m
1=2,m
2=1.
當(dāng)m=2時(shí),PF=3-2=1,EF=1+2=3.
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3).
同理 當(dāng)m=1時(shí),E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),與C點(diǎn)重合.
②若E點(diǎn)在直線AD的下方,
則PE=(3-m)-(-m
2+2m+3)=m
2-3m.
∴m
2-3m=2.解得
m3=,
m4=.
當(dāng)
m=時(shí),E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為
3--2=-;
當(dāng)
m=時(shí),E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為
3--2=.
∴在拋物線上存在除點(diǎn)C以外的點(diǎn)E,使得△ADE與△ACD的面積相等,E點(diǎn)的坐標(biāo)為E
1(2,3);
E2(, -);
E3(, ).