【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線與x軸,y軸分別交于B,C兩點(diǎn),拋物線經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0<t<5)秒.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo);

(2)在點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)的同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間和點(diǎn)P相同.

①記△BPQ的面積為S,當(dāng)t為何值時(shí),S最大,最大值是多少?

②是否存在△NCQ為直角三角形的情形?若存在,求出相應(yīng)的t值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1) A(-3,0);(2)時(shí), . (3)t的值為.

【解析】試題分析:(1)由直線yx+9x軸,y軸分別交于BC兩點(diǎn),分別令x=0y=0求出BC的坐標(biāo),又拋物線經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn),把求出的BC的坐標(biāo)代入到二次函數(shù)的表達(dá)式里得到關(guān)于b,c的方程,聯(lián)立解出bc即可求出二次函數(shù)的解析式.又因A點(diǎn)是二次函數(shù)與x軸的另一交點(diǎn)令y=0即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo).
2)連接OMPM與⊙O′相切作為題中的已知條件來(lái)做.由直徑所對(duì)的圓周角為直角可得∠OMC=90°從而得∠OMB=90°.又因?yàn)?/span>O′O是⊙O′的半徑,O′OOP得到OP為⊙O′的切線,然后根據(jù)從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,切線長(zhǎng)相等可得OP=PM,根據(jù)等邊對(duì)等角得∠POM=PMO,然后根據(jù)等角的余角相等可得∠PMB=OBM,再根據(jù)等角對(duì)等邊得PM=PB,然后等量代換即可求出OP的長(zhǎng),加上OA的長(zhǎng)即為點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)的路程AP,最后根據(jù)時(shí)間等于路程除以速度即可求出時(shí)間t的值.
3①由路程等于速度乘以時(shí)間可知點(diǎn)P走過(guò)的路程AP=3t,則BP=15-3t,點(diǎn)Q走過(guò)的路程為BQ=3t,然后aa過(guò)點(diǎn)QQDOB于點(diǎn)D,證BQD∽△BCO,由相似得比列即可表示出QD的長(zhǎng),然后根據(jù)三角形的面積公式即可得到S關(guān)于t的二次函數(shù)關(guān)系式,然后利用t=-時(shí)對(duì)應(yīng)的S的值即可求出此時(shí)的最大值.
②要使NCQ為直角三角形,必須滿(mǎn)足三角形中有一個(gè)直角,由BA=BC可知∠BCA=BAC,所以角NCQ不可能為直角,所以分兩種情況來(lái)討論:第一種,當(dāng)角NQC為直角時(shí),利用兩組對(duì)應(yīng)角的相等可證NCQ∽△CAO,由相似得比例即可求出t的值;第二種當(dāng)∠QNC=90°時(shí),也是證三角形的相似,由相似得比例求出t的值.

試題解析:1)在中,令x=0,得y=9;令y=0,得x=12C09),B120).
又拋物線經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn),∴,解得:

y=0,解得:A(-3,0)

2①過(guò)點(diǎn)QQDOB于點(diǎn)D

OCOBQDOC∴△BQD∽△BCO
OC=9,BQ=3tBC=15,,解得

0t5

當(dāng)時(shí), .

②存在NCQ為直角三角形的情形.

BC=BA=15, ∴∠BCA=BAC,即∠NCQ=CAO

∴△NCQ欲為直角三角形,∠NCQ≠90°,只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°兩種情況.

如圖,當(dāng)∠NQC=90°時(shí),∠NQC=COA=90°,NCQ=CAO

∴△NQC∽△COA, ,,解得: ;

當(dāng)∠QNC=90°時(shí),∠QNC=COA=90°,NCQ=CAO

∴△NQC∽△OCA, ,解得:t=.

綜上,存在NCQ為直角三角形的情形,t的值為.

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