Question

已知拋物線 y=mx²+4x+2m與x軸交于點A（，0）、B(，0)，且．

（1）求拋物線的解析式．

（2）拋物線的對稱軸為l，與y軸的交點為C，頂點為D，點C關(guān)于l對稱點為E．是否存在 x軸上的點M、y軸上的點N，使四邊形DNME的周長最��？若存在，請畫出圖形（保留作圖痕跡），并求出周長的最小值；若不存在，請說明理由．

（3）若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當(dāng)以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形時，求點P的坐標(biāo)．

 

Answer 1

（1）由題意可知，， 是方程 的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，+= ，=-2．

∵ ，

∴ ．即：．

∴m=1．

∴拋物線解析式為．

（2）       存在x軸，y軸上的點M，N，使得四邊形DNME的周長最�。�

∵，

∴拋物線的對稱軸為 ，頂點D的坐標(biāo)為（2，6）．

又拋物線與y軸交點C的坐標(biāo)為（0，2），點E與點C關(guān)于對稱，

∴E點坐標(biāo)為（4，2）．     

作點D關(guān)于y軸的對稱點D′，作點E關(guān)于x軸的對稱點E′，

則D′坐標(biāo)為（-2，6），E′坐標(biāo)為（4，-2）．連接D′E′，交x軸于M，交y軸與N．

此時，四邊形DNME的周長最小為D′E′+DE．（如圖1所示）

延長E′E， D′D交于一點F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8．

∴D′E′= = ．

設(shè)對稱軸與CE交于點G，在Rt△DG E中，DG=4，EG=2．

∴DE= =．

∴四邊形DNME的周長的最小值為

10+ ．

（3）如圖2， P為拋物線上的點，過P作PH⊥x軸，垂足為H．若以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，則△PHQ≌△DGE．

∴PH=DG=4．

即 =4．

∴當(dāng)y=4時， =4，解得

當(dāng)y=-4時， =-4，解得．

∴點P的坐標(biāo)為（ ，4），（，4），（，-4），（，-4）．