【題目】已知,在矩形ABCD中,連接對角線AC,將ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到EFG,并將它沿直線AB向左平移,直線EG與BC交于點H,連接AH,CG.

(1)如圖,當(dāng)AB=BC,點F平移到線段BA上時,線段AH,CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?直接寫出你的猜想;

(2)如圖,當(dāng)AB=BC,點F平移到線段BA的延長線上時,(1)中的結(jié)論是否成立,請說明理由;

(3)如圖,當(dāng)AB=nBC(n1)時,對矩形ABCD進行如已知同樣的變換操作,線段AH,CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?直接寫出你的猜想.

【答案】(1) AH=CG,AHCG ;(2) 仍然成立,理由詳見解析;(3) AH=nCG,AHCG.理由詳見解析.

【解析】

試題分析:(1)延長AH與CG交于點T,如圖,易證BH=BG,從而可證到ABH≌△CBG,則有AH=CG,HAB=GCB,從而可證到HAB+AGC=90°,進而可證到AHCG.

(2)延長CG與AH交于點Q,如圖,仿照(1)中的證明方法就可解決問題.

(3)延長AH與CG交于點N,如圖,易證BHEF,可得GBH∽△GFE,則有,也就有,從而可證到ABH∽△CBG,則有=n,HAB=GCB,進而可證到AH=nCG,AHCG.

試題解析:(1)AH=CG,AHCG.

證明:延長AH與CG交于點T,如圖,

由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得:EF=AB,F(xiàn)G=BC,EFG=ABC.

四邊形ABCD是矩形,AB=BC,

EF=GF,EFG=ABC=90°.

∴∠CBG=90°,EGF=45°.

∴∠BHG=90°﹣45°=45°=EGF.

BH=BG.

ABH和CBG中,

AB=BC,ABH=CBG,BH=BG,

∴△ABH≌△CBG(SAS).

AH=CG,HAB=GCB.

∴∠HAB+AGC=GCB+AGC=90°.

∴∠ATC=90°.

AHCG.

(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.

證明:延長CG與AH交于點Q,如圖,

由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得:EF=AB,F(xiàn)G=BC,EFG=ABC.

四邊形ABCD是矩形,AB=BC,

EF=GF,EFG=ABC=90°.

∴∠ABH=90°,EGF=45°.

∴∠BGH=EGF=45°.

∴∠BHG=90°﹣45°=45°=BGH.

BH=BG.

ABH和CBG中,

AB=BC,ABH=CBG,BH=BG,

∴△ABH≌△CBG(SAS).

AH=CG,HAB=GCB.

∴∠GCB+CHA=HAB+CHA=90°.

∴∠CQA=90°.

CGAH.

(3)AH=nCG,AHCG.理由如下:

延長AH與CG交于點N,如圖,

由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得:EF=AB,F(xiàn)G=BC,EFG=ABC.

四邊形ABCD是矩形,AB=nBC,

EF=nGF,EFG=ABC=90°.

∴∠EFG+ABC=180°.

BHEF.

∴△GBH∽△GFE.

,

∵∠ABH=CBG,

∴△ABH∽△CBG.

=n,HAB=GCB.

AH=nCG,HAB+AGC=GCB+AGC=90°.

∴∠ANC=90°.

AHCG.

練習(xí)冊系列答案
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