若正△ABC外接圓的半徑為R,則△ABC的面積為
3
3
4
R2
3
3
4
R2
分析:連接OB,OA,延長AO交BC于D,根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AD⊥BC,BD=CD=
1
2
BC,∠OBD=30°,求出OD,根據(jù)勾股定理求出BD,即可求出BC,根據(jù)三角形的面積公式求出即可.
解答:解:連接OB,OA,延長AO交BC于D,
∵正△ABC外接圓是⊙O,
∴AD⊥BC,BD=CD=
1
2
BC,∠OBD=
1
2
∠ABC=
1
2
×60°=30°,
即OD=
1
2
OB=
1
2
R,
由勾股定理得:BD=
OB2OD2
=
3
2
R,
即BC=2BD=
3
R,AD=AO+OD=R+
1
2
R=
3
2
R,
則△ABC的面積是
1
2
BC×AD=
1
2
×
3
3
2
R=
3
3
4
R2
故答案為:
3
3
4
R2
點評:本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,三角形的外接圓,三角形的面積等知識點的應用,關鍵是能正確作輔助線后求出BD的長,題目具有一定的代表性,主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力.
練習冊系列答案
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平面直角坐標系xOy中,原點O是正三角形ABC外接圓的圓心,點A在y軸的正半軸上,△ABC的邊長為6.以原點O為旋轉(zhuǎn)中心將△ABC沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)α角,得到△A′B′C′,點A′、B′、C′分別為點A、B、C的對應點.
(1)當α=60°時,
①請在圖1中畫出△A′B′C′;
②若AB分別與A′C′、A′B′交于點D、E,則DE的長為
2
2

(2)如圖2,當A′C′⊥AB時,A′B′分別與AB、BC交于點F、G,則點A′的坐標為
(-
3
,3)
(-
3
,3)
,△FBG的周長為
6
6
,△ABC與△A′B′C′重疊部分的面積為
27-9
3
27-9
3

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

若正△ABC的邊長為a,則它的外接圓的面積為
a2π
3
a2π
3

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若正△ABC外接圓的半徑為R,則△ABC的面積為________.

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若正△ABC外接圓的半徑為R,則△ABC的面積為   

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