Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，原點(diǎn)O是正三角形ABC外接圓的圓心，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，△ABC的邊長為6．以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心將△ABC沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角，得到△A′B′C′，點(diǎn)A′、B′、C′分別為點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)α=60°時(shí)，
①請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出△A′B′C′；
②若AB分別與A′C′、A′B′交于點(diǎn)D、E，則DE的長為

2

；
（2）如圖2，當(dāng)A′C′⊥AB時(shí)，A′B′分別與AB、BC交于點(diǎn)F、G，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為

（-

3

，3）

，△FBG的周長為

6

，△ABC與△A′B′C′重疊部分的面積為

27-9

3

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的角度作出等邊三角形后即可得到正確的圖形；
（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的對(duì)稱性及垂徑定理求得點(diǎn)A′的坐標(biāo)，然后計(jì)算出三角形PGF的面積，用三角形ABC的面積減去3個(gè)三角形PGF的面積即可求得重疊部分的面積．

解答：解：（1）①如圖所示：

②根據(jù)題意得：△A′DE、△BEF、△B′FG、△CGH、△C′IH、△ADI均為等邊三角形，
∴AD=DE=BE，
∴DE=

1

3

AB=

1

3

×6=2，
∴DE的長為 2；  

（2）∵A′C′⊥AB，
∴BC⊥A′B′，x軸⊥A′B′，
∵A′B′=6，
∴A′M=3，
連接OA′，根據(jù)圓的對(duì)稱性可知∠OA′M=30°，
∴OM=

3

，
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-

3

，3）；
設(shè)A′B′與x軸交于點(diǎn)M，BC與y軸交于點(diǎn)N，
在△BGF中，∵∠BGF=90°，∠B=60°，BG=BN-GN=3-

3

，
∴FG=

3

BG=3

3

-3，BF=2BG=6-2

3

，
∴△FBG的周長=BF+FG+BG=6-2

3

+3

3

-3+3-

3

=6；
在Rt△FBG中，∵∠B=60°，
∴設(shè)BG=x，則BF=2x，F(xiàn)G=

3

x，
∴BG+BF+FG=3x+

3

x=6，
解得：BG=x=3-

3

，F(xiàn)G=

3

x=3

3

-3
∴S_△BGF=

1

2

BG•FG=

1

2

×（3-

3

）（3

3

-3）=6

3

-9，
△ABC與△A'B'C'重疊部分的面積為S_△ABC-3S_△BGF=

1

2

×6×3

3

-3（6

3

-9）=27-9

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合知識(shí)，解題的過程中綜合運(yùn)用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的對(duì)稱性、垂徑定理等知識(shí)，難度較大．