Question

【題目】若平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)M滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點(diǎn)M叫做“整點(diǎn)”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整點(diǎn)”．拋物線y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，若該拋物線在A、B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域（包括邊界）恰有七個(gè)整點(diǎn)，則m的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】＜m≤1

【解析】

先將二次函數(shù)的表達(dá)式化為頂點(diǎn)式，確定出圖象的頂點(diǎn)，可以直接得到(2，0)、(2，﹣1)、(2，﹣2)三點(diǎn)必在所要求的區(qū)域內(nèi)，然后向外擴(kuò)充4個(gè)整點(diǎn)，找到點(diǎn)(1，0)、 (3，0)、(1，﹣1)、(3，﹣1)，然后討論①當(dāng)點(diǎn)（1，-1）在邊界時(shí)，此時(shí)求得m=1，確定拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而判斷出當(dāng)m＝1時(shí)，恰好有7個(gè)整點(diǎn)符合題意，根據(jù)拋物線的開口大小與二次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系確定出0<m≤1；②當(dāng)點(diǎn)（1，-1）在區(qū)域內(nèi)時(shí)，如圖2，此時(shí)若該拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0，0)和點(diǎn)(4，0)，顯然這兩個(gè)點(diǎn)符合題意，將(0，0)代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2求得m＝，由此可得m＝時(shí)，有9個(gè)整點(diǎn)符合題意，判斷出m＝不符合題意，確定出m＞，綜合①②的討論即可確定出m的取值范圍.

∵y＝mx2﹣4mx+4m﹣2＝m(x﹣2)2﹣2且m＞0，

∴該拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，﹣2)，對稱軸是直線x＝2，

∴點(diǎn)(2，0)、點(diǎn)(2，﹣1)、頂點(diǎn)(2，﹣2) 三點(diǎn)必在拋物線在A、B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域，

又∵該拋物線在A、B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域（包括邊界）恰有七個(gè)整點(diǎn)，

∴必有點(diǎn)(1，0)、 (3，0)、(1，﹣1)、(3，﹣1)，

①當(dāng)點(diǎn)（1，-1）在邊界時(shí)，

將(1，﹣1)代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到﹣1＝m﹣4m+4m﹣2，解得m＝1，

此時(shí)拋物線解析式為y＝x2﹣4x+2，（如圖1），

由y＝0得x2﹣4x+2＝0．解得x1＝2﹣≈0.6，x2＝2+≈3.4，

∴x軸上的點(diǎn)(1，0)、(2，0)、(3，0)符合題意，

則當(dāng)m＝1時(shí)，恰好有 (1，0)、(2，0)、(3，0)、(1，﹣1)、(3，﹣1)、(2，﹣1)、(2，﹣2)這7個(gè)整點(diǎn)符合題意，

∴m≤1，

∴0<m≤1，【注：m的值越大，拋物線的開口越小，m的值越小，拋物線的開口越大】

②當(dāng)點(diǎn)（1，-1）在區(qū)域內(nèi)時(shí)，如圖2，此時(shí)若該拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0，0)和點(diǎn)(4，0)，顯然這兩個(gè)點(diǎn)符合題意，

此時(shí)x軸上的點(diǎn) (1，0)、(2，0)、(3，0)也符合題意，

將(0，0)代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到0＝0﹣4m+0﹣2．解得m＝，

此時(shí)拋物線解析式為y＝x2﹣2x，

當(dāng)x＝1時(shí)，得y＝×1﹣2×1＝﹣＜﹣1，

∴點(diǎn)(1，﹣1)符合題意，

當(dāng)x＝3時(shí)，得y＝×9﹣2×3＝﹣＜﹣1．

∴點(diǎn)(3，﹣1)符合題意，

綜上可知：當(dāng)m＝時(shí)，點(diǎn)(0，0)、(1，0)、(2，0)、(3，0)、(4，0)、(1，﹣1)、(3，﹣1)、(2，﹣2)、(2，﹣1)都符合題意，共有9個(gè)整點(diǎn)符合題意，

∴m＝不符合題意，

∴m＞，

綜合①②可得：當(dāng)＜m≤1時(shí)，該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的區(qū)域(含邊界)內(nèi)有七個(gè)整點(diǎn)，

故答案為：＜m≤1．