Question

【題目】已知，直線 與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．且點(diǎn)P（1，a）為坐標(biāo)系中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求三角形ABC的面積S△ABC；
（2）請(qǐng)說(shuō)明不論a取任何實(shí)數(shù)，三角形BOP的面積是一個(gè)常數(shù)；
（3）要使得△ABC和△ABP的面積相等，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：令 中x=0，得點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2）；

令y=0，得點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，0）．

由勾股定理可得 ，

所以S△ABC=6.5；

（2）解：不論a取任何實(shí)數(shù)，三角形BOP都可以以BO=2為底，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離1為高，

所以S△BOP=1為常數(shù)；

（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，

因?yàn)? ，S△BOP=1，

所以 ，

即3﹣ a﹣1= ，解得a=﹣3，

當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，

∵S△ABO=3，S△APO= a，S△BOP=1，

∴S△ABP=S△BOP+S△AOP﹣S△ABO= ，

即1+ a﹣3= ，

用類似的方法可解得 ．

【解析】（1）先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理得到AB的長(zhǎng)，等腰Rt△ABC的面積為AB平方的一半；（2）三角形BOP的底邊BO=2，BO邊上的高為P點(diǎn)的橫坐標(biāo)1，所以它的面積是一個(gè)常數(shù)1；（3）實(shí)際上給定△ABP的面積，求P點(diǎn)坐標(biāo)．利用面積和差求△ABP的面積，注意要分類討論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)和三角形的面積的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減��；三角形的面積=1/2×底×高才能正確解答此題．