Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的邊AD在x軸上，點C在y軸的負(fù)半軸上，直線BC∥AD，且BC=3，OD=2，將經(jīng)過A、B兩點的直線l：y=﹣2x﹣10向右平移，平移后的直線與x軸交于點E，與直線BC交于點F，設(shè)AE的長為t（t≥0）．

（1）四邊形ABCD的面積為 ；

（2）設(shè)四邊形ABCD被直線l掃過的面積（陰影部分）為S，請直接寫出S關(guān)于t的函數(shù)解析式；

（3）當(dāng)t=2時，直線EF上有一動點，作PM⊥直線BC于點M，交x軸于點N，將△PMF沿直線EF折疊得到△PTF，探究：是否存在點P，使點T恰好落在坐標(biāo)軸上？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）20；（2）；（3）P（﹣6，6）或P（﹣，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)解析式得到OA=5，求得AC=7，得到OC=4，于是得到結(jié)論；

（2）①當(dāng)0≤t≤3時，根據(jù)已知條件得到四邊形ABFE是平行四邊形，于是得到S=AEOC=4t；

②當(dāng)3≤t＜7時，如圖1，求得直線CD的解析式為：y=2x﹣4，直線E′F′的解析式為：y=﹣2x+2t﹣10，解方程組得到G的坐標(biāo)，于是得到S=S四邊形ABCD﹣S△DE′G；

③當(dāng)t≥7時，S=S四邊形ABCD=20；

（3）當(dāng)t=2時，點E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（﹣3，0），（﹣1，﹣4），此時直線EF的解析式為：y=﹣2x﹣6，設(shè)動點P的直線為（m，﹣2m﹣6），求得PM=|（﹣2m﹣6）﹣（﹣4）|=2|m+1|，PN=（﹣2m﹣6|=2（m+3|，F(xiàn)M=|m﹣（﹣1）|=|m+1，分兩種情況討論：

①假設(shè)直線EF上存在點P，使點T恰好落在x軸上，如圖2，連接PT，F(xiàn)T；

②假設(shè)直線EF上存在點P，使點T恰好落在y軸上，如圖3，連接PT，F(xiàn)T，根據(jù)全等三角形的判定性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）在y=﹣2x﹣10中，當(dāng)y=0時，x=﹣5，∴A（﹣5，0），∴OA=5，∴AC=7，把x=﹣3代入y=﹣2x﹣10得，y=﹣4，∴OC=4，∴四邊形ABCD的面積=（3+7）×4=20；

故答案為：20；

（2）①當(dāng)0≤t≤3時，∵BC∥AD，AB∥EF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴S=AEOC=4t；

②當(dāng)3≤t＜7時，如圖1，∵C（0，﹣4），D（2，0），∴直線CD的解析式為：y=2x﹣4，∵E′F′∥AB，BF′∥AE′

∴BF′=AE=t，∴F′（t﹣3，﹣4），直線E′F′的解析式為：y=﹣2x+2t﹣10，解得， ，∴G（，t﹣7），∴S=S四邊形ABCD﹣S△DE′G=20﹣×（7﹣t）×（7﹣t）=，③當(dāng)t≥7時，S=S四邊形ABCD=20；

綜上所述：S關(guān)于t的函數(shù)解析式為：；

（3）當(dāng)t=2時，點E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（﹣3，0），（﹣1，﹣4），此時直線EF的解析式為：y=﹣2x﹣6，設(shè)動點P的直線為（m，﹣2m﹣6），∵PM⊥直線BC于M，交x軸于n，∴M（m，﹣4），N（m，0），∴PM=|（﹣2m﹣6）﹣（﹣4）|=2|m+1|，PN=（﹣2m﹣6|=2（m+3|，F(xiàn)M=|m﹣（﹣1）|=|m+1，分兩種情況討論：

①假設(shè)直線EF上存在點P，使點T恰好落在x軸上，如圖2，連接PT，F(xiàn)T，則△PFM≌△PFT，∴PT=PM=2|m+1|，F(xiàn)T=FM=|m+1|，∴=2，作FK⊥x軸于K，則KF=4，由△TKF∽△PNT得， =2，∴NT=2KF=8，∵PN2+NT2=PT2，∴4（m+3）2+82=4（m+1）2，解得：m=﹣6，∴﹣2m﹣6=﹣6，此時，P（﹣6，6）；

②假設(shè)直線EF上存在點P，使點T恰好落在y軸上，如圖3，連接PT，F(xiàn)T，則△PFM≌△PFT，∴PT=PM=2|m+1|，F(xiàn)T=FM=|m+1|，∴ =2，作PH⊥y軸于H，則PH=|m|，由△TFC∽△PTH得， =2，∴HT=2CF=2，∵，即，解得：m=﹣，m=0（不合題意，舍去），∴m=﹣時，﹣2m﹣6=﹣，∴P（﹣，﹣），綜上所述：直線EF上存在點P（﹣6，6）或P（﹣，﹣）使點T恰好落在y軸上．