【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=2,點M為正方形ABCD的邊CD上的動點(與點C,D不重合),連接BM,作MF⊥BM,與正方形ABCD的外角∠ADE的平分線交于點F.設(shè)CM=x,△DFM的面積為y,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為________________.
【答案】y=-
【解析】
在BC上截取CH=CM,連接MH,則△MCH是等腰直角三角形,BH=MD,證出∠BHM=∠MDF,∠1=∠2,由ASA證明△BHM≌△MDF,再根據(jù)三角形面積公式求解即可.
證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴CD=BC,∠C=∠CDA=90°=∠ADE,
∵DF平分∠ADE,
∴∠ADF=∠ADE=45°,
∴∠MDF=90°+45°=135°.
在BC上截取CH=CM,連接MH,如圖,
則△MCH是等腰直角三角形,BH=MD,∴∠CHM=∠CMH=45°,
∴∠BHM=135°,
∴∠1+∠HMB=45°,∠BHM=∠MDF,
∵FM⊥BM,
∴∠FMB=90°,
∴∠2+∠BMH=45°,
∴∠1=∠2.
在△BHM與△MDF中,
,
∴△BHM≌△MDF(ASA),
∴BH=MD=2-x,
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=x(2-x)=-x2+x.
故答案為:y=-x2+x.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,二次函數(shù)y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的右側(cè)),與y軸的正半軸交于點C,頂點為D.
(1)求頂點D的坐標(用含a的代數(shù)式表示);
(2)若以AD為直徑的圓經(jīng)過點C.
①求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
②如圖2,點E是y軸負半軸上一點,連接BE,將△OBE繞平面內(nèi)某一點旋轉(zhuǎn)180°,得到△PMN(點P、M、N分別和點O、B、E對應),并且點M、N都在拋物線上,作MF⊥x軸于點F,若線段MF:BF=1:2,求點M、N的坐標;
③點Q在拋物線的對稱軸上,以Q為圓心的圓過A、B兩點,并且和直線CD相切,如圖3,求點Q的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,點E,F(xiàn)分別是邊AD,BC的中點,連接DF,過點E作EH⊥DF,垂足為H,EH的延長線交DC于點G.
(1)猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)過點H作MN∥CD,分別交AD,BC于點M,N,若正方形ABCD的邊長為10,點P是MN上一點,求△PDC周長的最小值.
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【題目】如圖,函數(shù)的圖象過點.
求該函數(shù)的解析式;
過點分別向軸和軸作垂線,垂足為和,求四邊形的面積;
求證:過此函數(shù)圖象上任意一點分別向軸和軸作垂線,這兩條垂線與兩坐標軸所圍成矩形的面積為定值.
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【題目】如圖,已知△ABE≌△ACD.
(1)如果BE=6,DE=2,求BC的長;
(2)如果∠BAC=75°,∠BAD=30°,求∠DAE的度數(shù).
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【題目】如圖①,在△ABC中,點P為BC邊中點,直線a繞頂點A旋轉(zhuǎn),若點B,P在直線a的異側(cè),BM⊥直線a于點M.CN⊥直線a于點N,連接PM,PN.
(1)延長MP交CN于點E(如圖②).
①求證:△BPM≌△CPE;
②求證:PM=PN;
(2)若直線a繞點A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時,點B,P在直線a的同側(cè),其它條件不變,此時PM=PN還成立嗎?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由;
(3)若直線a繞點A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時,其它條件不變,請直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時PM=PN還成立嗎?不必說明理由.
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【題目】在△ABC中,AB=AC,點D是直線BC上一動點(不與點B,C重合),在AD右側(cè)作△ADE,使得AD=AE,∠DAE=∠BAC,聯(lián)結(jié)DE,CE。
(1)當點D在BC邊上時,求證:EC=DB;
(2)當EC∥AB,若△ABD的最小角為20°,請寫出ADB的度數(shù),并對其中一個答案加以證明。
答:∠ADB的度數(shù)除了20°,還可能是 (直接寫出所有答案,并對其中一個答案加以證明)
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點 A,B的坐標分別為(0,3),(1,0),△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°.
(1)圖1中,點C的坐標為 ;
(2)如圖2,點D的坐標為(0,1),點E在射線CD上,過點B 作BF⊥BE交y軸于點F.
①當點E為線段CD的中點時,求點F的坐標;
②當點E在第二象限時,請直接寫出F點縱坐標y的取值范圍.
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