Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AN∥BD，過(guò)點(diǎn)B作BN∥AC，兩線相交于點(diǎn)N．

（1）求證：AN＝BN；

（2）連接DN，交AC于點(diǎn)F，若DN⊥NB于點(diǎn)N，求∠DOC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）120°

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知條件可以證明四邊形OANB是平行四邊形，進(jìn)而證明OANB是菱形，即可得結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）可以得∠NDB=30°，進(jìn)而可求∠DOC的度數(shù)．

解：（1）證明：∵矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，

∴OA＝OB，

∵AN∥BD，BN∥AC，

∴四邊形OANB是平行四邊形，

∵OA＝OB，

∴OANB是菱形，

∴AN＝BN，

（2）由（1）可知：

BN＝OB＝OD，

∴BD＝2BN，

∵DN⊥NB，

∴∠DNB＝90°，

∴∠BDN＝30°，

∵BN∥AC，

∴∠DFO＝∠DNB＝90°，

∴∠DOF＝90°﹣30°＝60°，

∴∠DOC＝180°﹣60°＝120°．

答：∠DOC的度數(shù)為120°．