【題目】問題情境:
我們知道若一個(gè)矩形的周長(zhǎng)固定,當(dāng)相鄰兩邊相等,即為正方形時(shí),面積是最大的,反過來,若一個(gè)矩形的面積固定,它的周長(zhǎng)是否會(huì)有最值呢?
方法探究:
用兩條直角邊分別為、的四個(gè)全等的直角三角形,可以拼成一個(gè)正方形,
若,可以拼成如圖1的正方形,從而得到,即;
若,可以拼成如圖2的正方形,從而得到,即.
于是我們可以得到結(jié)論:,為正數(shù),總有,且當(dāng)時(shí),代數(shù)式取得最小值為.
另外,我們也可以通過代數(shù)式運(yùn)算得到類似上面的結(jié)論.
∵,
∴,,
∴對(duì)于任意實(shí)數(shù),,總有,
且當(dāng)時(shí),代數(shù)式取得最小值為.
類比應(yīng)用:
(1)對(duì)于正數(shù),,試比較和的大小關(guān)系,并說明理由.
(2)填空:
當(dāng)時(shí),________.
代數(shù)式有最________值為________.
問題解決:
(3)若一個(gè)矩形的面積固定為,它的周長(zhǎng)是否會(huì)有最值呢?若有,求出周長(zhǎng)的最值,及此時(shí)矩形的長(zhǎng)和寬;若沒有,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1),理由見解析;(2);;;(3)若一個(gè)矩形的面積固定為,它的周長(zhǎng)是有最小值,周長(zhǎng)的最小值為,矩形的長(zhǎng)和寬均為
【解析】
(1)根據(jù)探究方法中的結(jié)論,代入數(shù)據(jù)即得出結(jié)論;
(2)先將代數(shù)式-2,再+2,根據(jù)探究方法中的結(jié)論,代入數(shù)據(jù)即得出結(jié)論;
(3)設(shè)該矩形的長(zhǎng)為,寬為,根據(jù),結(jié)合矩形的周長(zhǎng)和面積公式即可得出結(jié)論.
探究方法:
(1)解:∵當(dāng),均為正數(shù)時(shí),
∵
∴,
∴.
類比應(yīng)用:
(2)結(jié)合探究方法中得出的結(jié)論可知:
當(dāng)時(shí),,代數(shù)式有最小值為.
(3)問題解決:
解:設(shè)該矩形的長(zhǎng)為,寬為,
根據(jù)題意知:周長(zhǎng),
且當(dāng)時(shí),代數(shù)式取得最小值為,
此時(shí).
故若一個(gè)矩形的面積固定為,它的周長(zhǎng)是有最小值,周長(zhǎng)的最小值為,此時(shí)矩形的長(zhǎng)和寬均為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn),過點(diǎn)A作AN∥BD,過點(diǎn)B作BN∥AC,兩線相交于點(diǎn)N.
(1)求證:AN=BN;
(2)連接DN,交AC于點(diǎn)F,若DN⊥NB于點(diǎn)N,求∠DOC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年10月23日,港珠澳大橋正式開通,成為橫亙?cè)诹尕暄笊系囊坏漓n麗的風(fēng)景.大橋主體工程隧道的東、西兩端各設(shè)置了一個(gè)海中人工島,來銜接橋梁和海底隧道,西人工島上的A點(diǎn)和東人工島上的B點(diǎn)間的距離約為5.6千米,點(diǎn)C是與西人工島相連的大橋上的一點(diǎn),A,B,C在一條直線上.如圖,一艘觀光船沿與大橋段垂直的方向航行,到達(dá)P點(diǎn)時(shí)觀測(cè)兩個(gè)人工島,分別測(cè)得與觀光船航向的夾角∠DPA=18°,∠DPB=53°,求此時(shí)觀光船到大橋AC段的距離的長(zhǎng).
參考數(shù)據(jù):°,°,°,°,°,°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形中,是邊上一點(diǎn),連接,過作于,交于.
(1)如圖1,連接,當(dāng),時(shí),求的長(zhǎng);
(2)如圖2,對(duì)角線,交于點(diǎn).連接,若,求的長(zhǎng);
(3)如圖3,對(duì)角線,交于點(diǎn).連接,,若,試探索與的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中華文明,源遠(yuǎn)流長(zhǎng);中華詩詞,寓意深廣.為了傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校團(tuán)委組織了一次全校2000名學(xué)生參加的“中國(guó)詩詞大會(huì)”海選比賽賽,后發(fā)現(xiàn)所有參賽學(xué)生的成績(jī)均不低于50分.為了更好地了解本次海選比賽的成績(jī)分布情況,隨機(jī)抽取了其中200名學(xué)生的海選比賽成績(jī)(成績(jī)取整數(shù),總分100分)作為樣本進(jìn)行整理,得到下列統(tǒng)計(jì)圖表:
抽取的200名學(xué)生海選成績(jī)分組表
組別 | 海選成績(jī) |
組 | |
組 | |
組 | |
組 | |
組 |
請(qǐng)根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)請(qǐng)把圖1中的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整,在條形圖的頂端標(biāo)示對(duì)應(yīng)的人數(shù);
(2)直接寫明在圖2的扇形統(tǒng)計(jì)圖中,表示組扇形的圓心角的度數(shù)為________度;
(3)規(guī)定海選成績(jī)?cè)?/span>90分以上(包括90分)記為“優(yōu)等”,請(qǐng)根據(jù)樣本,求:該校參加這次海選比賽的2000名學(xué)生中,成績(jī)“優(yōu)等”的有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是的直徑,點(diǎn)是圓上一點(diǎn),,垂足為點(diǎn),交于點(diǎn),且.
(1)若點(diǎn)是的中點(diǎn),求證:;
(2)求證:是的切線;
(3)若的半徑為10,,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC為菱形,OA在x軸的正半軸上,∠AOC=60°,過點(diǎn)C的反比例函數(shù) 的圖象與AB交于點(diǎn)D,則△COD的面積為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖1是一臺(tái)實(shí)物投影儀,圖2是它的示意圖,折線B-A-O表示固定支架,AO垂直水平桌面OE于點(diǎn)O,點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)點(diǎn),BC可轉(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),投影探頭CD始終垂直于水平桌面OE,經(jīng)測(cè)量:AO=6.4cm,CD=8cm,AB=40cm,BC=45cm,
圖1
(1)如圖2,∠ABC=70°,BC∥OE.
①填空:∠BAO= °
②投影探頭的端點(diǎn)D到桌面OE的距離
(2)如圖3,將(1)中的BC向下旋轉(zhuǎn),∠ABC=30°時(shí),求投影探頭的端點(diǎn)D到桌面OE的距離
(參考數(shù)據(jù):sin70≈0.94,cos70≈0.34,sin40°≈0.64,cos40°≈0.77)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中,,,為格點(diǎn),為小正方形邊的中點(diǎn).
(1)的長(zhǎng)等于_________;
(2)點(diǎn),分別為線段,上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)取得最小值時(shí),請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中,用無刻度的直尺,畫出線段,,并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)和點(diǎn)的位置是如何找到的(不要求證明).
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