Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于A、B，在△AOB內(nèi)部作正方形，使正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都落在該三角形的邊上，則此正方形落在x軸正半軸的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1.5，0）或（1，0）．

Answer 1

分析 分兩種情況：①如圖1，令x=0，則y=3，令y=0，則x=3，得到OA=OB=3，∠BAO=45°，根據(jù)DE⊥OA，推出DE=AE，由于四邊形COED是正方形，得到OE=DE，等量代換得到OE=AE，即可得到結(jié)論；②如圖2，由（1）知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，由四邊形CDEF是正方形，得到EF=CF，于是得到AF=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$OF=2OF，求出OA=OF+2OF=3，即可得到結(jié)論．

解答 解：分兩種情況；
①如圖1，令x=0，則y=3，令y=0，則x=3，
∴OA=OB=3，
∴∠BAO=45°，
∵DE⊥OA，
∴DE=AE，
∵四邊形COED是正方形，
∴OE=DE，
∴OE=AE，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA=1.5，
∴E（1.5，0）；
②如圖2，由①知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，
∴CF=$\sqrt{2}$OF，AF=$\sqrt{2}$EF，
∵四邊形CDEF是正方形，
∴EF=CF，
∴AF=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$OF=2OF，
∴OA=OF+2OF=3，
∴OF=1，
∴F（1，0）．
故答案為（1.5，0）或（1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，利用分類(lèi)討論思想以及正確畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．