Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直線y=x+4與x軸、y軸分別相交于點A和點C，拋物線y=x²+kx+k﹣1圖象過點A和點C，拋物線與x軸的另一交點是B，

（1）求出此拋物線的解析式、對稱軸以及B點坐標(biāo)；

（2）若在y軸負(fù)半軸上存在點D，能使得以A、C、D為頂點的三角形與△ABC相似，請求出點D的坐標(biāo)．

Answer 1

              解：（1）由x=0得y=0+4=4，則點C的坐標(biāo)為（0，4）；

由y=0得x+4=0，解得x=﹣4，則點A的坐標(biāo)為（﹣4，0）；

把點C（0，4）代入y=x²+kx+k﹣1，得k﹣1=4，

解得：k=5，

∴此拋物線的解析式為y=x²+5x+4，

∴此拋物線的對稱軸為x=﹣=﹣．

令y=0得x²+5x+4=0，

解得：x₁=﹣1，x₂=﹣4，

∴點B的坐標(biāo)為（﹣1，0）．

（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），

∴OA=OC=4，

∴∠OCA=∠OAC．

∵∠AOC=90°，OB=1，OC=OA=4，

∴AC==4，AB=OA﹣OB=4﹣1=3．

∵點D在y軸負(fù)半軸上，∴∠ADC＜∠AOC，即∠ADC＜90°．

又∵∠ABC＞∠BOC，即∠ABC＞90°，∴∠ABC＞∠ADC．

∴由條件“以A、C、D為頂點的三角形與△ABC相似”可得△CAD∽△ABC，

∴=，即=，

解得：CD=，

∴OD=CD﹣CO=﹣4=，

∴點D的坐標(biāo)為（0，﹣）．