Question

【題目】如圖，矩形中，，，點(diǎn)是邊上一定點(diǎn)，且．

(1)當(dāng)時(shí)，上存在點(diǎn)，使與相似，求的長(zhǎng)度．

(2)對(duì)于每一個(gè)確定的的值上存在幾個(gè)點(diǎn)使得與相似?

Answer 1

【答案】(1)或3；(2)當(dāng)且時(shí)，有3個(gè)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)．

【解析】

（1）分△AEF∽△BFC和△AEF∽△BCF兩種情形，分別構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

（2）根據(jù)題意畫出圖形，交點(diǎn)個(gè)數(shù)分類討論即可解決問(wèn)題；

解：（1）當(dāng)∠AEF=∠BFC時(shí)，
要使△AEF∽△BFC，需，即，

解得AF=1或3；
當(dāng)∠AEF=∠BCF時(shí)，
要使△AEF∽△BCF，需，即，

解得AF=1；
綜上所述AF=1或3．

（2）如圖，延長(zhǎng)DA，作點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E′，連結(jié)CE′，交AB于點(diǎn)F1；
連結(jié)CE，以CE為直徑作圓交AB于點(diǎn)F2、F3．

當(dāng)m=4時(shí)，由已知條件可得DE=3，則CE=5，

即圖中圓的直徑為5，

可得此時(shí)圖中所作圓的圓心到AB的距離為2.5，等于所作圓的半徑，F2和F3重合，

即當(dāng)m=4時(shí)，符合條件的F有2個(gè)，

當(dāng)m＞4時(shí)，圖中所作圓和AB相離，此時(shí)F2和F3不存在，即此時(shí)符合條件的F只有1個(gè)，

當(dāng)1＜m＜4且m≠3時(shí)，由所作圖形可知，符合條件的F有3個(gè)，

綜上所述：

當(dāng)1＜m＜4且m≠3時(shí)，有3個(gè)；
當(dāng)m=3時(shí)，有2個(gè)；
當(dāng)m=4時(shí)，有2個(gè)；
當(dāng)m＞4時(shí)，有1個(gè)．