Question

【題目】已知拋物線，直線，直線

（1）當(dāng)m=0時(shí)，若直線經(jīng)過此拋物線的頂點(diǎn)，求b的值

（2）將此拋物線夾在之間的部分（含交點(diǎn)）圖象記為，若，

①判斷此拋物線的頂點(diǎn)是否在圖象上，并說明理由；

②圖象上是否存在這樣的兩點(diǎn)：，其中？若存在，求相應(yīng)的和的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）b=-2；（2）①不在，理由詳見解析；②不存在，理由詳見解析.

【解析】

(1) 把m=0代入即可求出拋物線解析式，則可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為，把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入，可求得b的值；

（2）①將拋物線化成頂點(diǎn)式 后，得出拋物線頂點(diǎn)為（m，2m-2）.當(dāng)x=m時(shí)，對(duì)于，對(duì)于由于，可得 頂點(diǎn)（m，2m-2）在的下方，即可得出結(jié)論；②設(shè)直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且，由方程 ，可得，此時(shí) ；設(shè)直線與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，且 ，由方程，可得 ，此時(shí) 可得 ，可判斷 由于，即點(diǎn)A在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)，則在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)，必存在點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，其中， 所以 ，由于拋物線的開口向上，可得當(dāng)x<m時(shí)，y隨x的增大而減小，由于拋物線頂點(diǎn)在的下方，故點(diǎn)C也在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)，設(shè) 是拋物線上A、C兩點(diǎn)之間的任意一點(diǎn)，則有 ，故 ，又因?yàn)樵趻佄锞�上必存在其對(duì)稱點(diǎn) ，其中 ，故 ，故拋物線上A、C兩點(diǎn)之間的任意點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)都在點(diǎn)D下方.同理，拋物線上B、D兩點(diǎn)之間的部分所有點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)都在點(diǎn)A上方,所以圖像C上不存在這樣的兩點(diǎn)：和，其中

（1）解：當(dāng)m=0時(shí)，拋物線：

則頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2）

把（0，-2）代入，可得b=-2

（2）①拋物線的頂點(diǎn)不在圖像C上，理由如下：

因?yàn)?/span> ，

所以拋物線頂點(diǎn)為（m，2m-2）

當(dāng)x=m時(shí)，對(duì)于，對(duì)于

因?yàn)?/span>

所以

所以

即頂點(diǎn)在的下方

所以拋物線的頂點(diǎn)不在圖像C上

②解：設(shè)直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且

解得

因?yàn)?/span> ，且對(duì)于，y隨x的增大而增大

所以

所以，此時(shí)

設(shè)直線與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，且

所以

所以

因?yàn)?/span>

所以，

所以

因?yàn)?/span> ，且對(duì)于，y隨x的增大而增大，

所以

所以 ，此時(shí)

因?yàn)?/span> ，

又因?yàn)?/span>

所以

又因?yàn)?/span>

所以，即

因?yàn)?/span>，即點(diǎn)A在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)，則在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)，必存在點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，其中

所以

因?yàn)閽佄锞�的開口向上，

所以當(dāng)x<m時(shí)，y隨x的增大而減小，

因?yàn)閽佄锞�頂點(diǎn)在的下方，故點(diǎn)C也在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)，

設(shè) 是拋物線上A、C兩點(diǎn)之間的任意一點(diǎn)，則有

所以

又因?yàn)樵趻佄锞�上必存在其對(duì)稱點(diǎn) ，其中

所以

也即拋物線上A、C兩點(diǎn)之間的任意點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)都在點(diǎn)D下方

同理，拋物線上B、D兩點(diǎn)之間的部分所有點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)都在點(diǎn)A上方

所以圖像C上不存在這樣的兩點(diǎn)：和，其中